[論文レビュー] An unfitted discontinuous Galerkin scheme for conservation laws on evolving surfaces

Christian Engwer, Thomas Ranner+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2016

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、表面に適合するメッシュを必要とせず、時間変化する表面における保存則を解くための非適合不連続ガラーキン（DG）法を提案する。表面をレベルセット関数で表現し、固定された背景メッシュ上で標準的な輸送問題を解くことで、複雑な幾何形状に対しても質量保存と最適収束率（L¹およびL²ノルムで1次）を達成する。数値結果により、収縮する円形表面においても、安定性と精度が確認されている。

ABSTRACT

Motivated by considering partial differential equations arising from conservation laws posed on evolving surfaces, a new numerical method for an advection problem is developed and simple numerical tests are performed. The method is based on an unfitted discontinuous Galerkin approach where the surface is not explicitly tracked by the mesh which means the method is extremely flexible with respect to geometry. Furthermore, the discontinuous Galerkin approach is well-suited to capture the advection driven by the evolution of the surface without the need for a space-time formulation, back-tracking trajectories or streamline diffusion. The method is illustrated by a one-dimensional example and numerical results are presented that show good convergence properties for a simple test problem.

研究の動機と目的

• 表面に適合するメッシュを必要とせず、時間変化する表面における広義の保存則を解くための堅牢な数値法の開発。
• 時間領域の定式化、軌跡の逆算、ストリームライン拡散を避けるために、問題を非適合領域上の標準的な輸送方程式に再定式化すること。
• 数値スキームにおいて、機械精度まで質量保存を保証すること。
• 特に表面運動に起因する広義の輸送を伴う、時間変化する表面を含むベンチマーク問題における収束性と精度の実証。
• 今後の時間依存問題や非ゼロのフラックス項（q ≠ 0）を含む問題への拡張の基盤を築くこと。

提案手法

• 表面をレベルセット関数 Φ(x,t) を用いて暗黙的に表現することで、時間変化する表面に適合するメッシュを必要としない非適合不連続ガラーキン法を採用する。
• 表面の時間発展は、微分同相写像 G(·,t) の時間微分により定義される速度場 w を用いて記述され、表面運動の記述が可能になる。
• 支配方程式を物質微分問題に再定式化する： ∂•u + u∇Γ·w + ∇Γ·q = 0（本稿の設定では q = 0 であり、表面運動に起因する純粋な輸送に帰着する）。
• 固定された背景メッシュ上に不連続ガラーキン変分形式を適用し、要素界面における数値フラックスを計算することで不連続性を扱い、安定性を確保する。
• レベルセット関数による表面測度の整合的統合により、再メッシュなしでカット要素上での正確な数値積分が可能になる。
• スカラー関数は局所多項式形状関数（報告されたテストでは k=0）を用い、解の境界を越えた連続性を弱い形で強制することで質量保存を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非適合不連続ガラーキン法は、表面に適合するメッシュを必要とせず、時間変化する表面における保存則に対して安定かつ正確な解を得られるか？
• RQ2 表面が背景メッシュを切り抜けるような状況下でも、離散的状態において質量を機械精度まで保存できるか？
• RQ3 収縮する円形表面におけるモデル輸送問題について、L¹、L²、L∞ノルムにおける収束率はどの程度達成できるか？
• RQ4 滑らかでない初期データ（特に不連続性を有するもの）に対して、数値的拡散および不連続性の鋭さの保持はどの程度か？
• RQ5 今後の研究において、時間依存問題や非ゼロのフラックス項（q ≠ 0）を含む方程式へ拡張可能か？

主な発見

• h-メッシュの細分化において、L¹およびL²ノルムで収束次数が約1に達し、最適収束率を達成する。
• L∞ノルムでは粗いメッシュ解では収束率が一貫しないが、h < 0.01 において収束次数が1に近づく傾向を示し、メッシュの細分化に伴い精度が向上することが示された。
• 離散的質量は機械精度まで保存されている：全メッシュで総質量が 6.283185 ± 1e-6 の範囲に収まり、解析解 2π に非常に近い。
• 収縮する円上での初期濃度が一定（u₀ ≡ 1）から最終濃度が2に変化する状況において、数値的拡散が最小限に抑えられ、輸送を効果的に捉えている。
• 不連続性を有する非定数初期データ（バイナリ分布）に対しても、不連続性の鋭さを比較的よく保持しているが、若干の数値的拡散が観察された。これは高次要素やフラックスリミッターの導入により緩和可能である。
• 表面が背景メッシュを切り抜ける状況でも、再メッシュなしで安定かつ正確に動作し、複雑で変化する幾何形状の取り扱いにおけるロバスト性を示している。