[論文レビュー] An Unified Approach on Constructing of MDS Self-dual Codes via Reed-Solomon Codes

Aixian Zhang, Keqin Feng|arXiv (Cornell University)|May 16, 2019

Coding theory and cryptography参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、一般化および拡張一般化 Reed-Solomon コードを用いて、有限体上での MDS 自己双対符号の構築のための統一的枠組みを提示する。二次的特徴関数およびノルム写像を含む共通の代数的枠組みを通じて、先行研究の結果を再解釈することで、証明を単純化し、特に体のサイズと符号パラメータに関する条件下で、さまざまな長さの MDS 自己双対符号の新しい構成を導出する。

ABSTRACT

Based on the fundamental results on MDS self-dual codes over finite fields constructed via generalized Reed-Solomon codes \cite{JX} and extended generalized Reed-Solomon codes \cite{Yan}, many series of MDS self-dual codes with different length have been obtained recently by a variety of constructions and individual computations. In this paper, we present an unified approach to get several previous results with concise statements and simplified proofs, and some new constructions on MDS self-dual codes. In the conclusion section we raise two open problems.

研究の動機と目的

• 一般化および拡張一般化 Reed-Solomon コードに基づく、既存の MDS 自己双対符号の構成を統一・単純化すること。
• 有限体上での MDS 自己双対符号に関する既知の結果について、簡潔で統一された記述と単純化された証明を提供すること。
• 提案された統一的枠組みを用いて、新しい MDS 自己双対符号の族を導出すること。
• GRS および EGRS 符号における自己双対性を保証する、基礎となる体および符号パラメータの構造的条件を同定すること。
• MDS 自己双対符号の長さの完全な特徴付けおよび非素数体における MDS 主予想の妥当性に関する未解決問題を提起すること。

提案手法

• 著者らは、$\mathbb{F}_q^*$ 上の二次的特徴関数 $\eta_q$ を用いて、GRS および EGRS 符号の自己双対性の必要十分条件を再定式化する。
• 統一基準を確立する：$n$ が偶数のとき、$\mathcal{C}_{grs}$ が自己双対であるための必要十分条件は、すべての $a \in \mathcal{S}$ に対して $\eta_q(\Delta_{\mathcal{S}}(a))$ が定数であること。$n$ が奇数のとき、$\mathcal{C}_{egrs}$ が自己双対であるための必要十分条件は、すべての $a \in \mathcal{S}$ に対して $\eta_q(-\Delta_{\mathcal{S}}(a)) = 1$ であること。
• 体のノルム写像および乗法的部分群を用いて、$\mathbb{F}_r$ から $\mathbb{F}_q$ への構成の拡張を行う。ここで $q = p^m$ かつ $r$ は $q-1$ を割る。
• バーデモンド型積の二次的特徴関数値が一様であるような $\mathbb{F}_r^*$ の部分集合 $\mathcal{M}$ を選ぶことで、$\mathbb{F}_q$ 上での新しい MDS 自己双対符号を構成する。
• 乗法的部分群 $B = \langle \theta^{r-1} \rangle$ における $\mathbb{F}_q^*$ の剰余類の構造を用いて、$\mathcal{M}$ を $\mathbb{F}_q$ のより大きな集合 $\mathcal{S} \subset \mathbb{F}_q$ に拡張する。
• このアプローチにより、$n = l \cdot \frac{q-1}{r-1}$ または $n = l \cdot \frac{q-1}{r-1} + 1$ の形の、偶奇および体の条件に応じた新しい符号長が体系的に生成される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 GRS および EGRS コードによる既存の MDS 自己双対符号の構成は、単一の理論的枠組みに統一可能か？
• RQ2 GRS および EGRS コードの自己双対性を保証する、評価集合 $\mathcal{S} \subset \mathbb{F}_q$ に対する最小かつ最も一般的な条件は何か？
• RQ3 ノルム写像および二次的特徴関数の性質をどのように用いて、$\mathbb{F}_q$ 上で新しい MDS 自己双対符号を体系的に生成できるか？
• RQ4 $q = p^m$, $p \geq 3$ のとき、どの偶数長 $n$ に対して $\mathbb{F}_q$ 上に MDS 自己双対符号が存在するか？
• RQ5 $m \geq 2$ のとき、$\mathbb{F}_q$ 上の MDS 自己双対符号について、MDS 主予想は妥当か？

主な発見

• 本稿では、二次的特徴関数 $\eta_q$ を用いて、GRS および EGRS コードからの自己双対 MDS 符号の統一的特徴付けを提供する。
• $l$ が偶数で $l \in \Sigma(g,r)$ のとき、$n = l \cdot \frac{q-1}{r-1} \in \Sigma(g,q)$ であることを証明する。ここで $\Sigma(g,q)$ は、$\mathbb{F}_q$ 上で MDS 自己双対符号が存在する偶数長の集合である。
• また、$l$ が奇数で $l+1 \in \Sigma(eg,r)$ のとき、$n = l \cdot \frac{q-1}{r-1} + 1 \in \Sigma(eg,q)$ であることを示し、拡張符号への構成を拡張する。
• 著者らは、$q \equiv 3 \pmod{4}$ のとき、$n \equiv 2 \pmod{4}$ の自己双対符号は存在しないことを導出し、$n \notin \Sigma(q)$ を示す。
• ノルムおよび特徴関数の適合性を用いて、$\mathbb{F}_r$ 上の解を $\mathbb{F}_q$ に持ち上げることで、新しい MDS 自己双対符号の構成が可能になる。
• 本稿では、このような符号の存在が $l$ の偶奇および評価集合上での積 $\Delta_{\mathcal{S}}(a)$ の二次的特徴関数の振る舞いに強く依存することを確立する。