[論文レビュー] An unusual Liénard type nonlinear oscillator with properties of a linear harmonic oscillator

V. K. Chandrasekar, M. Senthilvelan+1 more|ArXiv.org|Aug 28, 2004

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ひとこと要約

本稿は、$\ddot{x} + kx\dot{x} + \frac{k^2}{9}x^3 + \lambda_1 x = 0$ で記述される、非線形項が強く作用するが振幅に依存しない周波数を示す、新しいリャプノフ型非線形振動子を特定する。これは線形調和振動子と同一の周波数を示すが、強い非線形性にもかかわらず、その性質を示す。この系は、流れ関数の発散が非ゼロであっても保存則を持つハミルトニアン構造を有する。これは、保存系の標準的基準を一般化する必要があり、発散の時間平均が消えることが条件となることを示唆する。

ABSTRACT

A Liénard type nonlinear oscillator of the form $\ddot{x}+kx\dot{x}+\frac{k^2}{9}x^3+λ_1 x=0$, which may also be considered as a generalized Emden type equation, is shown to possess unusual nonlinear dynamical properties. It is shown to admit explicit nonisolated periodic orbits of conservative Hamiltonian type for $λ_1>0$. These periodic orbits exhibit the unexpected property that the frequency of oscillations is completely independent of amplitude and continues to remain as that of the linear harmonic oscillator. This is completely contrary to the standard characteristic property of nonlinear oscillators. Interestingly, the system though appears deceptively a dissipative type for $λ_1\leq0$ does admit a conserved Hamiltonian description, where the characteristic decay time is also independent of the amplitude. The results also show that the criterion for conservative Hamiltonian system in terms of divergence of flow function needs to be generalized.

研究の動機と目的

• 振幅に依存しない周波数を維持する非線形振動子系を同定すること。これは、標準的な非線形振動子の振る舞いとは対照的である。
• $\lambda_1 \leq 0$ の場合、見かけ上は散逸的特性を示すにもかかわらず、その系が保存則を持つハミルトニアン記述を有することを示すこと。
• 流れ関数の発散がゼロであることに依存する保存系の従来の基準を、挑戦し一般化すること。
• この特異な振る舞いを可能にする幾何学的および変換的性質を探索すること。特に線形化および正準変換の役割を含む。

提案手法

• 可積分性および線形化可能性を同定するために、リー点変換法と正準変換を用いて系を分析する。
• ラグランジュ形式を導出し、その系から保存則を持つハミルトニアンを構成する。これは、系が散逸的であるように見える場合でも成立する。
• 流れ関数の発散を計算し、その時間平均を評価することで、保存的振る舞いの有無を評価する。
• 非局所変換を適用して、系を自由粒子または調和振動子方程式に写像し、深い構造的対称性を明らかにする。
• 非局所変換を用いて、系を3階線形方程式に変換し、可積分性を確認する。
• $\lambda_1 = 0$ の場合の明示的解を導出し、$\lambda_1 > 0$ の場合の周期的解を解析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形振動子が、標準的な非線形振動子の振るまいとは対照的に、振幅に依存しない周波数を示すことは可能か？
• RQ2 流れ関数の発散が非ゼロであっても、どのような条件下で系が保存的とみなせるか？
• RQ3 発散がゼロでないが時間平均がゼロとなる系を含むように、保存系の標準的基準をどのように一般化できるか？
• RQ4 非局所変換および正準変換は、非線形振動子における隠れた可積分性およびハミルトニアン構造をどのように明らかにするか？
• RQ5 見かけ上散逸的ダイナミクスを示す系が、保存則を持つハミルトニアンを有することは可能か？その場合、どのような条件下で成立するか？

主な発見

• 非線形振動子 $\ddot{x} + kx\dot{x} + \frac{k^2}{9}x^3 + \lambda_1 x = 0$ は、$\lambda_1 > 0$ の場合、振幅に依存しない周期的軌道を有し、線形調和振動子と同一の周波数を示す。
• $\lambda_1 > 0$ の場合、非線形減衰項 $kx\dot{x}$ が存在するにもかかわらず、系は保存則を持つハミルトニアンを有する。
• 流れ関数の発散がゼロであることが保存系の条件であるという標準的基準は、この系では成立しない。発散は非ゼロであるが、その時間平均はゼロである。
• $\lambda_1 \leq 0$ の場合、見かけ上散逸的または周期的でない系であっても、保存則を持つハミルトニアン構造が継続的に存在する。これは、発散の時間平均がゼロであることが条件である。
• $\lambda_1$ の値に応じて、可逆な点変換により系を自由粒子方程式に、正準変換により線形調和振動子方程式に変換できる。
• 非局所変換により、系は3階線形方程式に写像され、別の非局所変換により直接線形調和振動子方程式に写像される。これにより、特異な対称性の性質が明らかになる。