[論文レビュー] An upper bound for the height for regular affine automorphisms of A^n

ChongGyu Lee|ArXiv.org|Sep 16, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用数 7

ひとこと要約

本論文は、任意の次元 $n \geq 2$ において、正則なアフィン自己同型写像 $f$ に対して、Kawaguchiの予想である canonical height の下界が成り立つことを証明している。これは彼の $n=2$ の場合の結果を一般化したものである。反復的ブLOW-UPによる不確定性の解消と、得られる多様体上の交線論を用いて、$D = \frac{1}{d}\phi_U^*H + \frac{1}{d'}\psi_U^*H - \left(1 + \frac{1}{dd'}\right)\pi_U^*H$ が有効であることを確立した。このことから、高さ不等式が導かれ、このような写像に対する canonical height の構成がすべての次元で正当化される。

ABSTRACT

In 2006, Kawaguchi proved a lower bound for height of h(f(P)) when f is a regular affine automorphism of A^2, and he conjectured that a similar estimate is also true for regular affine automorphisms of A^n for n>2. In this paper we prove Kawaguchi's conjecture. This implies that Kawaguchi's theory of canonical heights for regular affine automorphisms of projective space is true in all dimensions.

研究の動機と目的

• 正則なアフィン自己同型写像 $f$ に対して、任意の次元 $n \geq 2$ で Kawaguchi の予想、すなわち canonical height の下界が成り立つことを証明すること。これは彼の $n=2$ 時代の結果を拡張するものである。
• 必要な高さ不等式を証明することで、正則なアフィン自己同型写像の canonical height 理論がすべての次元で有効であることを確立すること。
• $f$ と $f^{-1}$ の有理関数拡張 $\phi_0$ と $\psi_0$ の不確定性を反復的ブLOW-UPにより解消し、共通の解体多様体 $U$ を構成すること。
• $U$ 上でのプルバック除数 $\pi_U^*H$, $\phi_U^*H$, $\psi_U^*H$ を計算し、$D = \frac{1}{d}\phi_U^*H + \frac{1}{d'}\psi_U^*H - \left(1 + \frac{1}{dd'}\right)\pi_U^*H$ が有効であることを示すこと。

提案手法

• Hironakaの不確定性解消定理を適用し、$f$ を拡張する有理写像 $\phi_0$ を解消するための反復的モナドリック変換により、滑らかな多様体 $V$ を構成する。同様に $\psi_0$ を解消するための $W$ を構成する。
• $V$ のピカール群を $\operatorname{Pic}(V) = \mathbb{Z}H_V \oplus \mathbb{Z}E_1 \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}E_k$ と定義し、無限遠超平面の正確な像と特異除数によって生成される。
• $V$ と $W$ の解体を組み合わせて、$f$ と $f^{-1}$ の共通の解体多様体 $U$ を構成し、$U$ 上でのプルバック除数 $\pi_U^*H$, $\phi_U^*H$, $\psi_U^*H$ を定義する。
• $D = \frac{1}{d}\phi_U^*H + \frac{1}{d'}\psi_U^*H - \left(1 + \frac{1}{dd'}\right)\pi_U^*H$ を計算し、すべての係数が非負であることを確認することで、$D$ が有効であることを示す。
• $D$ の有効性を用いて、高さ不等式 $\frac{1}{d}h(f(P)) + \frac{1}{d'}h(f^{-1}(P)) > \left(1 + \frac{1}{dd'}\right)h(P) + C$ を導出し、Kawaguchiの予想を確認する。
• 証明された高さ不等式を活用し、canonical height $\widehat{h}(P)$ の構成が正当化されることを示し、関数方程式 $\frac{1}{d}\widehat{h}(f(P)) + \frac{1}{d'}\widehat{h}(f^{-1}(P)) = \left(1 + \frac{1}{dd'}\right)\widehat{h}(P)$ を満たし、周期点にのみ 0 になることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kawaguchi の $\mathbb{A}^2$ における正則なアフィン自己同型写像の高さ下界不等式は、$n \geq 3$ のすべての次元に拡張可能か？
• RQ2 同じ関数方程式を用いて、正則なアフィン自己同型写像の canonical height 理論を $\mathbb{A}^2$ を超えて一般化可能か？
• RQ3 $f$ と $f^{-1}$ の共通の解体多様体 $U$ 上で、除数 $D = \frac{1}{d}\phi_U^*H + \frac{1}{d'}\psi_U^*H - \left(1 + \frac{1}{dd'}\right)\pi_U^*H$ は有効か？
• RQ4 $f$ と $f^{-1}$ の不確定性を解消するために $\mathbb{P}^n$ をブLOW-UPして得られる解体多様体 $U$ のピカール群の構造は何か？
• RQ5 共通の解体多様体 $U$ 上で、プルバック除数 $\phi_U^*H$, $\psi_U^*H$, $\pi_U^*H$ の関係は何か？ それらが高さ不等式の成立を保証するにはどうすればよいか？

主な発見

• 本論文は Kawaguchi の予想を証明した：任意の正則なアフィン自己同型写像 $f$ に対して、すべての $P \in \mathbb{A}^n(\overline{\mathbb{Q}})$ に対して、高さ不等式 $\frac{1}{d}h(f(P)) + \frac{1}{d'}h(f^{-1}(P)) > \left(1 + \frac{1}{dd'}\right)h(P) + C$ が成り立つ。ここで $d = \deg f$, $d' = \deg f^{-1}$ であり、$C$ は $P$ とは無関係な定数である。
• $D = \frac{1}{d}\phi_U^*H + \frac{1}{d'}\psi_U^*H - \left(1 + \frac{1}{dd'}\right)\pi_U^*H$ は共通の解体多様体 $U$ 上で有効であり、これは高さ下界を証明するための主要な幾何的要因である。
• canonical height $\widehat{h}(P)$ を $\widehat{h}_{+}(P) - \widehat{h}_{-}(P)$ として定義すると、関数方程式 $\frac{1}{d}\widehat{h}(f(P)) + \frac{1}{d'}\widehat{h}(f^{-1}(P)) = \left(1 + \frac{1}{dd'}\right)\widehat{h}(P)$ を満たす。これはその一貫性を確認する。
• canonical height $\widehat{h}(P)$ は、$P$ が $f$-周期的である場合にのみ 0 になる。これは Kawaguchi が周期点を特徴づけていた結果を、すべての次元に拡張したものである。
• 3次元アフィン空間 $\mathbb{A}^3$ 上のヘノン写像 $f(x,y,z) = (y, z+y^2, x+z^2)$ に対して、解体プロセスにより明示的なプルバック除数の式が得られ、$D \geq 0$ であることが確認され、一般結果が具体的な例で裏付けられた。
• 解体多様体 $U$ のピカール群は、無限遠超平面の正確な像 $H_U$ と特異除数 $E_i, F_j$ によって生成され、$\operatorname{Pic}(U) = \mathbb{Z}H_U \oplus \mathbb{Z}E_1 \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}E_k \oplus \mathbb{Z}F_1 \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}F_l$ である。