[論文レビュー] An upper bound for the number of perfect matchings in graphs

Shmuel Friedland|ArXiv.org|Mar 6, 2008

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 4被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、偶数個の頂点を持つ無向単純グラフにおける完全マッチングの数に対する上界を、頂点の次数に基づいて確立する。その上界は、$\mathop{\mathrm{perfmat}}\nolimits G \leq \prod_{v\in V} (\deg v)!^{1/(2\deg v)}$ と表される。この上界は、対角成分が0の(0,1)対称行列のヘフニアンに対するブラグマン＝ミンクの不等式を一般化したものであり、グラフが完全二部グラフの disjoint な和集合である場合には等号が成立する。

ABSTRACT

We give an upper bound on the number of perfect matchings in an undirected simple graph $G$ with an even number of vertices, in terms of the degrees of all the vertices in $G$. This bound is sharp if $G$ is a union of complete bipartite graphs. This bound is a generalization of the upper bound on the number of perfect matchings in bipartite graphs on $n+n$ vertices given by the Bregman-Minc inequality for the permanents of $(0,1)$ matrices.

研究の動機と目的

• 偶数個の頂点を持つ無向単純グラフにおける完全マッチングの数に対する上界を、頂点の次数のみに依存して導出すること。
• 元々(0,1)-行列のパーマネントに対して成立するブラグマン＝ミンクの不等式を、対角成分が0の(0,1)対称行列のヘフニアンへ一般化すること。
• グラフが完全二部グラフの互いに素な和集合である場合に、上界が等号をとることを確立すること。
• シュリーヴァーによるブラグマン＝ミンクの不等式の証明に類似した技法を、ヘフニアンの文脈に適応して証明する手法を提供すること。

提案手法

• 頂点数に関する帰納法を用い、マッチングされた頂点ペアの削除によるヘフニアンの再帰的展開を利用する。
• 特定のマッチングペアを削除して得られる部分グラフに帰納法を適用し、ヘフニアンの再帰式 $\mathop{\mathrm{hafn}}\nolimits A = \sum_{j \neq i} a_{ij} \mathop{\mathrm{hafn}}\nolimits A(i,j)$ を用いる。
• 凸性 $x \log x$ を用いて、次数の階乗を含む項の積によるヘフニアンの上界を導出する。また、隣接関係の構成の組み合わせ的数え上げも行う。
• すべての完全マッチングにわたる各頂点のヘフニアンへの寄与を分析し、マッチングペアとの共通近傍の数に応じた場合分けを行う。
• キーポイントは、補題3.3を用いて、階乗を含むある式が非隣接ペアの数に応じて増加することを示し、制約下での最大化を可能にする。
• 最終的な不等式は、積の順序を再配置し、不等式 $\prod_{\alpha \in \mathcal{M}} \text{terms} \leq \left( \prod_{i=1}^{2n} (r_i!)^{1/(2r_i)} \right)^{2n \cdot \mathop{\mathrm{hafn}}\nolimits A}$ を適用することで得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた頂点の次数のみに基づいて、一般の無向グラフにおける完全マッチングの数の最もタイトな上界は何か？
• RQ2 パーマネントのブラグマン＝ミンクの不等式は、対角成分が0の(0,1)対称行列のヘフニアンへ拡張可能か？
• RQ3 どのようなグラフ構造の下で、提案された上界が等号をとるか？
• RQ4 完全マッチングにおける隣接関係の構造は、ヘフニアンの上界にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 任意の偶数個の頂点を持つ無向単純グラフにおける完全マッチングの数は、$\prod_{v \in V} (\deg v)!^{1/(2\deg v)}$ で上から抑えられ、$0^{1/0} = 0$ と定義される。
• グラフが完全二部グラフの互いに素な和集合（例：$K_{r,r}$）である場合には、上界が等号をとる。
• 完全グラフ $K_{2n}$ に対しては、上界が $\prod_{i=1}^{2n} (2n-1)!^{1/(2(2n-1))}$ を与え、既知の完全マッチングの数 $\frac{(2n)!}{n! \cdot 2^n}$ と上界の形において一致する。
• シュリーヴァーによるブラグマン＝ミンクの不等式の証明を改造した証明技法により、帰納法と階乗項の凸性に基づいて上界が確立される。
• 各頂点がすべての完全マッチングに与える寄与を分析することで、上界がタイトであることが示され、隣接部分集合の重複が最小限になるときに最大値が達成される。
• 上記の不等式は、パーマネントからヘフニアンへのブラグマン＝ミンクの不等式の一般化であり、非二部グラフおよび対称行列への適用範囲を拡張する。