[論文レビュー] Analisys of Hamiltonian Boundary Value Methods (HBVMs) for the numerical solution of polynomial Hamiltonian dynamical systems

Luigi Brugnano, Felice Iavernaro+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2009

Numerical methods for differential equations被引用数 18

ひとこと要約

本稿では、多項式ハミルトニアン系のための対称的かつA安定な数値積分法であるハミルトニアン境界値法（HBVMs）を導入する。HBVMsは離散的変分法を活用することで、任意の次数の多項式ハミルトニアンを正確に保存し、古典的なシンプレクティック法を超える長期間の保存性を維持しながら、任意の高次の精度を達成する。

ABSTRACT

One main issue, when numerically integrating autonomous systems, is the long-term conservation of some of its invariants, among which the function itself. For example, it is well known that classical symplectic methods can only exactly preserve, at most, quadratic Hamiltonians. In this paper, a new family of methods, called Hamiltonian Boundary Value Methods (HBVMs), is introduced and analyzed. HBVMs are able to exactly preserve, in the discrete solution, functions of polynomial type of arbitrarily high degree. These methods turn out to be symmetric, precisely A-stable, and can have arbitrarily high order. A few numerical tests confirm the theoretical results.

研究の動機と目的

• 古典的なシンプレクティック法が二次ハミルトニアンしか正確に保存できないという限界を解消すること。
• 任意の高次多項式ハミルトニアンを正確に保存する数値積分法を開発すること。
• 得られる手法が長期間のシミュレーションにおいて望ましい安定性および対称性の性質を維持することを保証すること。
• 新しい手法の理論的性質、特に次数、A安定性、対称性を分析すること。
• ベンチマーク力学系を用いた数値実験を通じて理論的予測を検証すること。

提案手法

• HBVMsは、特定のガウス＝レジェンドル点におけるコロケーションを通じて多項式ハミルトニアンの正確な保存を強制する離散的変分法に基づいて構築される。
• 時間分割上でのコロケーションアプローチを採用し、離散解が修正されたハミルトニアン境界条件を満たすようにする。
• この定式化により、高次多項式に対しても、数値解がハミルトニアン関数の正確な等値集合上に位置することが保証される。
• 対称性が設計段階で組み込まれているため、A安定性を含む良好な安定性特性が保証される。
• コロケーション点の数を増やし、それに応じて求積則を調整することで、精度の次数を任意に高められる。
• ハミルトニアン構造を離散的変分原理に直接埋め込むことで、古典的コロケーション法を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的なシンプレクティック法の二次の制限を超えて、任意の次数の多項式ハミルトニアンを正確に保存する数値積分法を設計可能か？
• RQ2 このような手法の安定性および対称性の性質は何か？ また、A安定性を達成可能か？
• RQ3 ハミルトニアン構造を保存しつつ、精度の次数を任意に高められるか？
• RQ4 離散的変分法は、数値解におけるハミルトニアンの長期的保存をどのように保証するか？
• RQ5 HBVMsは、標準的なシンプレクティック積分法と比較して実際のシミュレーションでどの程度の性能を示すか？

主な発見

• HBVMsは、離散解において任意の次数の多項式ハミルトニアンを正確に保存し、古典的なシンプレクティック法の二次の制限を超える。
• 手法は対称的かつA安定であるため、長期間のシミュレーションにおいて頑健で安定である。
• コロケーション点の数を増やすことで、HBVMsは任意の高次精度を達成可能である。
• 数値実験により理論的予測が確認され、長期間の統合区間においてハミルトニアンの優れた保存性が示された。
• 離散的変分法により、ハミルトニアン構造が数値スキームに正確に埋め込まれ、エネルギー関数の正確な保存が達成された。
• HBVMsは、通常は正確に保存されない高次多項式不変量の保存において、古典的なシンプレクティック積分法を上回る性能を示した。