[論文レビュー] Analogue of Sylvester-Cayley formula for invariants of $n$-ary form

Leonid Bedratyuk|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2008

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、二進形式の不変量に対するSylvester-Cayley公式を、次数$d$の$n$元形式へ一般化し、Weyl群作用と重み多重度を用いた文字に基づく公式を提示する。主な結果は、正根の半和$\rho$から導かれるドミナント重みのWeyl群軌道を渡る符号付き和として、次数$k$の不変量の次元$\nu_{n,d}(k)$を表すもので、係数は対称的冪の重み分布を符号化する線形ディオファントス方程式系の非負整数解の数で与えられる。

ABSTRACT

The number $ν_{n,d}(k)$ of linearly independed homogeneous invariants of degree $k$ for the $n$-ary form of degree $d$ is calculated.

研究の動機と目的

• 二進形式に対する古典的Sylvester-Cayley公式を、任意の次数$d$の$n$-元形式へ拡張すること。
• $SL_n$の$n$-元形式への作用に対する、次数$k$の斉次不変量空間の次元$\nu_{n,d}(k)$を計算すること。
• $\mathfrak{sl}_n$のWeyl群と重み格子の表現論的技法を用いて、$\nu_{n,d}(k)$の閉形式公式を導出すること。
• 線形独立な不変量の数を、重み分布を符号化する方程式系の非負整数解の数で重み付けた、Weyl群要素の符号付き和として表現すること。

提案手法

• 本手法は、$n$-元形式の次数$d$に対応する$\mathfrak{sl}_n$-加群$A$（最高重み$(d,0,\dots,0)$をもつ基本表現）の対称冪$S^k(A)$の文字公式を用いる。
• Weyl文字公式とWeyl群作用を適用し、$S^k(A)$における自明表現の重複度（これは$\nu_{n,d}(k)$に等しい）を計算する。
• 公式は、$\mathfrak{sl}_n$のWeyl群$W$を渡る和で表され、各項は$(-1)^{|s|}$（群元$s$の符号）と、線形ディオファントス方程式系の非負整数解の数$c_{n,d}(k, (\rho - s(\rho))^*)$で重み付けられる。
• 方程式系は、$S^k(A)$内の単項式の重みを、総次数$k$、形式の次数$d$、および重み成分$\mu_s = \omega_s(\alpha)$（$\alpha$は合計が$k$である非負整数の多重指数）で符号化する。
• $c_{n,d}(k, \mu)$は、生成関数$R_{n,d}$における$t^k (q_1\cdots q_{n-1})^{kd/n}$の係数として計算され、これはすべての多重指数$|\mu| \leq d$についての積の逆数である。
• 最終的な公式は、Weyl群要素の符号付き和を含む生成関数における$t^k (q)^{kd/n}$の係数として$\nu_{n,d}(k)$を表す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $SL_n$の$n$-元形式の次数$d$への作用に対する、次数$k$の斉次不変量空間の次元$\nu_{n,d}(k)$は何か？
• RQ2 表現論を用いて、二進形式に対する古典的Sylvester-Cayley公式を$n$-元形式へどのように一般化できるか？
• RQ3 $\mathfrak{sl}_n$のWeyl群は、基本$\mathfrak{sl}_n$-加群の対称冪における自明表現の重複度を計算する際に果たす役割は何か？
• RQ4 線形ディオファントス方程式系の非負整数解の数を用いて、$A$の対称冪における重み多重度をどのように計算できるか？
• RQ5 $R_{n,d}$の生成関数を用いて、係数抽出によって$\nu_{n,d}(k)$を体系的に計算できるか？

主な発見

• $n$-元形式の次数$d$に対する次数$k$の斉次不変量空間の次元$\nu_{n,d}(k)$は、$\nu_{n,d}(k) = \sum_{s \in W} (-1)^{|s|} c_{n,d}\bigl(k, (\rho - s(\rho))^\ast\bigr)$で与えられる。ここで$W$は$\mathfrak{sl}_n$のWeyl群、$\rho$は正根の半和、$c_{n,d}(k, \mu)$は線形方程式系の非負整数解の数を表す。
• $n=3$の場合、公式は$\nu_{3,d}(k) = c_{3,d}(k,(0,0)) - 2c_{3,d}(k,(1,1)) - c_{3,d}(k,(2,2)) + c_{3,d}(k,(0,3)) + c_{3,d}(k,(3,0))$に簡略化され、先行研究で知られている結果と一致する。
• $c_{n,d}(k, \mu)$は、生成関数$R_{n,d} = \left( \prod_{|\mu| \leq d} (1 - t q_1^{\mu_1} \cdots q_{n-1}^{\mu_{n-1}}) \right)^{-1}$における$t^k (q_1\cdots q_{n-1})^{kd/n}$の係数として計算される。
• 公式は、$S^k(A)$の文字を単項式の対称和として表現し、Weyl文字公式を用いて自明表現の重複度を抽出することで導出される。
• $\mu^*$は$\mu$のWeyl群軌道における唯一のドミナント重みであり、これにより最終的な和においてはドミナント重みのみが寄与する。
• 本手法は、任意の$n$、$d$、$k$に対して、ディオファントス方程式系を解き、符号付きのWeyl群要素の和を取ることで、$\nu_{n,d}(k)$を体系的かつアルゴリズム的に計算する方法を提供する。