[論文レビュー] Analysis and Design of Complex-Valued Linear Systems

Bin Zhou|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2017

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 23被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、状態ベクトルとその共役の両方に依存する複素線形システムを分析・設計するための新規フレームワークを提示する。双行列理論を用いて、このシステムを等価な実数および複素数表現に変換する。主な貢献は、可制御性、安定性、LQR、観測器設計をカバーする包括的な解析的・設計的ツール群であり、これらは双行列方程式として表現されており、通常および反線形システムに対する既存の結果を一般化・改善する。

ABSTRACT

This paper studies a class of complex-valued linear systems whose state evolution dependents on both the state vector and its conjugate. The complex-valued linear system comes from linear dynamical quantum control theory and is also encountered when a normal linear system is controlled by feedback containing both the state vector and its conjugate that can provide more design freedom. By introducing the concept of bimatrix and its properties, the considered system is transformed into an equivalent real-representation system and a non-equivalent complex-lifting system, which are normal linear systems. Some analysis and design problems including solutions, controllability, observability, stability, eigenvalue assignment, stabilization, linear quadratic regulation (LQR), and state observer design are then investigated. Criterion, conditions, and algorithms are provided in terms of the coefficient bimatrices of the original system. The developed approaches are also utilized to investigate the so-called antilinear system which is a special case of the considered complex-valued linear system. The existing results on this system have been improved and some new results are established.

研究の動機と目的

• 量子制御やシステム還元において自然に生じる、状態とその共役の両方に明示的に依存する複素線形システムの統一的フレームワークの構築を目的とする。
• 通常および反線形システムに関する既存の結果を拡張するため、双行列代数を導入し、複素システムを等価な実数および複素数表現に変換する。
• 可制御性、可観測性、安定性、固有値配置、LQR、観測器設計といった基本的な制御問題に対する明示的な基準とアルゴリズムを、双行列形式を用いて提供することを目的とする。
• 反線形システムに関する先行研究を改善・一般化するため、双行列方程式に基づく新しい条件とアルゴリズムを確立することを目的とする。
• 2n次元の実数システムが、共役項を含むn次元の複素数システムとして等価に表現可能であることを示し、次元削減を可能にする。

提案手法

• 双行列（複素行列のペアとして定義される）の概念を導入し、システムのダイナミクスとその共役成分を表現することで、代数的演算を可能にする。
• ベクトル化およびクロネッカー積の技法を用いて、元の複素線形システムを次元2nの等価な実数表現システムに変換する。
• システムの構造的性質を保持するが、標準的な複素線形代数を用いた解析が可能な次元2nの非等価な複素リフトシステムを導出する。
• システムを実数および複素数形にリフトすることにより、安定性とLQR設計のための主要な道具として、リャプノフ双行列方程式および双行列代数的リカッチ方程式を確立する。
• 双行列システムの実数表現を用いて、拡張行列ブロックのランクテストを通じて、検出可能性および可観測性の条件を定義し、観測器設計を可能にする。
• 状態フィードバックと観測器ゲインの双行列を独立に設計することにより、観測器ベースの状態フィードバックにおける分離原理を提案する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 状態およびその共役状態に依存する複素線形システムを、分析のための等価な実数および複素数システムに体系的かつ一貫して変換する方法は何か？
• RQ2 このようなシステムの可制御性、可観測性、安定性の必要十分条件は、元のシステムの双行列係数を用いてどのように表現できるか？
• RQ3 双行列に基づく定式化を用いて、固有値配置、LQR、および状態観測器設計をどのように達成できるか？
• RQ4 提案手法は、通常および反線形システムに対する既存の結果をどのように一般化・改善するか？
• RQ5 このクラスのシステムに対して、観測器ベースの状態フィードバックにおける分離原理を適用可能か。その条件は何か？

主な発見

• 双行列リフトを用いて、システムが次元2nの等価な実数表現システムに変換され、標準的な実数線形システム解析が可能になる。
• 可制御性および可観測性は、双行列係数を含む拡張行列のランク条件によって特徴付けられ、検出可能性は実数表現システムを用いて定義される。
• 安定性はリャプノフ双行列方程式を用いて解析され、これは結合行列方程式と同等であり、漸近的安定性の必要十分条件を提供する。
• LQR問題は双行列代数的リカッチ方程式を用いて解かれる。これは、共役項を含む複素システムに一般化された標準代数的リカッチ方程式を表す。
• 状態観測器は双行列観測器ゲインを用いて設計され、実数表現システムが検出可能であれば収束が保証され、分離原理が確立される。
• 提案されたフレームワークは、通常および反線形システムに対する既存の結果に還元され、より一般的かつ計算的に取り扱いやすい条件を提供する。