[論文レビュー] Analysis and Design of Strongly Stabilizing PID Controllers for Time-Delay Systems

Pieter Appeltans, Silviu‐Iulian Niculescu+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2020

Extremum Seeking Control Systems参考文献 26被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、フィードバック遅延や有限差分近似による微分項の近似など、無限小の摂動に対してロバストであることを保証する、時間遅延系におけるPIDコントローラーの強安定性の概念を導入する。十分に高いカットオフ周波数を持つローパスフィルタを追加し、微分ゲイン行列に代数的制約を満たすことで、強安定なPIDコントローラーを設計可能であり、不確実性下でのコントローラー・ゲイン最適化の計算的手順が提供されている。

ABSTRACT

This paper presents the analysis of the stability properties of PID controllers for dynamical systems with multiple state delays, focusing on the mathematical characterization of the potential sensitivity of stability with respect to infinitesimal parametric perturbations. These perturbations originate for instance from neglecting feedback delay, a finite difference approximation of the derivative action, or neglecting fast dynamics. The analysis of these potential sensitivity problems leads us to the introduction of a `robustified' notion of stability called \\emph{strong stability}, inspired by the corresponding notion for neutral functional differential equations. We prove that strong stability can be achieved by adding a low-pass filter with a sufficiently large cut-off frequency to the control loop, on the condition that the filter itself does not destabilize the nominal closed-loop system. Throughout the paper, the theoretical results are illustrated by examples that can be analyzed analytically, including, among others, a third-order unstable system where both proportional and derivative control action are necessary for achieving stability, while the regions in the gain parameter-space for stability and strong stability are not identical. Besides the analysis of strong stability, a computational procedure is provided for designing strongly stabilizing PID controllers. Computational case-studies illustrating this design procedure complete the presentation.

研究の動機と目的

• フィードバック遅延の無視や微分項の有限差分近似といった、無限小のモデル誤差に対するPID制御時間遅延系の感度を分析すること。
• 任意に小さい摂動に対して安定性が保たれるという性質を保証する「強安定性」という概念を導入・形式化すること。これは、中立型関数微分方程式にインspiredされたものである。
• ノミナル系が不安定化されない条件下で、ローパスフィルタを用いることで強安定性を達成する条件を確立すること。
• パrametric不確実性および遅延に対して保証されたロバスト性を有する強安定PIDコントローラーを設計するための計算アルゴリズムを開発すること。
• MIMO、LTI時間遅延系にPID出力フィードバックを適用する文脈において、ロバスト安定性の理論枠組みを拡張すること。

提案手法

• 任意に小さい摂動に対して不変であることを要請する新しい安定性概念「強安定性」を導入し、コントローラーの微分作用に起因する摂動に対しても成立するようにする。
• ローパスフィルタが強安定性を保持するための、微分ゲイン行列 $K_d$ に対する代数的制約を導出する。
• スペクトルアブシス最大化フレームワークを適応し、最適化に際して定理4.2 [30] を用いて勾配を明示的に計算する。
• パrametric不確実性を含むシステム行列および遅延を扱えるように設計手順を修正し、最悪ケースの安定性マージンとして擬似スペクトルアブシスを用いる。
• 特性方程式を行列行列式の形に再定式化し、不確実性下での固有値の数値計算を可能にする。
• [29,30] における手法の修正版を用いて、不確実性集合上でのスペクトルおよび擬似スペクトルアブシスを計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 PIDコントローラーは、任意に小さいフィードバック遅延や微分項の有限差分近似によって、どのような条件下で不安定化するか？
• RQ2 ローパスフィルタを用いることで、時間遅延系におけるPID制御で強安定性を達成可能か？また、その場合に微分ゲインに満たすべき制約は何か？
• RQ3 パrametric不確実性に対して、強安定性を保証するPIDコントローラー・ゲインを体系的に見つけるための計算手順はどのように設計できるか？
• RQ4 遅延およびシステム行列のモデル不確実性が、PIDコントローラーの安定性領域に与える影響は何か？
• RQ5 提案された強安定性の概念は、既存の概念（例：w安定性や摂動に対するロバスト性）とどのように異なり、拡張されるか？

主な発見

• 十分に高いカットオフ周波数を持つローパスフィルタを追加することで、微分ゲイン行列が特定の代数的制約を満たしていれば、強安定性を達成可能である。
• PIDゲインパラメータ空間における安定領域と強安定領域は一致しないことが、3次不安定系の例によって示された。
• 提案された設計手順は、不確実性集合上での擬似スペクトルアブシスを最小化することで、最悪ケースの安定性マージンを保証する。
• スペクトルアブシスのコントローラー・ゲインに関する勾配を明示的に計算可能であり、効率的な最適化が可能である。
• 理論的結果は、解析的例を用いて検証されており、比例および微分制御が両方必要となる3次系の例も含まれる。
• アルゴリズムのMatlab実装が公開されており、ケーススタディおよび例題用のコードも含まれている。