[論文レビュー] Analysis of a chemo-repulsion model with nonlinear production: The continuous problem and unconditionally energy stable fully discrete schemes

Francisco Guillén‐González, María Ángeles Rodríguez‐Bellido+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2018

Mathematical Biology Tumor Growth参考文献 21被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、非線形生成項 $u^p$ ($1<p<2$) を有する化学的反発モデルに対して、無条件にエネルギー安定で質量保存性を満たす完全離散有限要素スキームを3つ提案する。正則化法と変分的定式化を用いて、弱解-強解の存在を証明し、数値実験を通じて、スキーム US0 と USε がエネルギー減衰を保持し、離散的エネルギー不等式を満たすことを示した。一方、UVε はエネルギー安定性が厳密なエネルギーの意味で保証されていないものの、他のスキームに比べて低い数値的散逸を示す。

ABSTRACT

We consider the following repulsive-productive chemotaxis model: Let $p\in (1,2)$, find $u \geq 0$, the cell density, and $v \geq 0$, the chemical concentration, satisfying \begin{equation}\label{C5:Am} \left\{ \begin{array} [c]{lll} \partial_t u - Δu - abla\cdot (u abla v)=0 \ \ \mbox{in}\ Ω,\ t&gt;0,\\ \partial_t v - Δv + v = u^p \ \ \mbox{in}\ Ω,\ t&gt;0, \end{array} ight. \end{equation} in a bounded domain $Ω\subseteq \mathbb{R}^d$, $d=2,3$. By using a regularization technique, we prove the existence of solutions of this problem. Moreover, we propose three fully discrete Finite Element (FE) nonlinear approximations, where the first one is defined in the variables $(u,v)$, and the second and third ones by introducing ${\boldsymbolσ}= abla v$ as an auxiliary variable. We prove some unconditional properties such as mass-conservation, energy-stability and solvability of the schemes. Finally, we compare the behavior of the schemes throughout several numerical simulations and give some conclusions.

研究の動機と目的

• 非線形生成項 $u^p$ ($1<p<2$) を有する化学的反発モデルに対して、正則化法を用いて弱解-強解の存在を確立すること。
• 離散レベルで質量保存性とエネルギー安定性を満たす完全離散有限要素スキームを設計すること。
• エネルギー減衰、数値的散逸、安定性の観点から、UVε、USε、US0 の3つのスキームの数値的性能を比較すること。
• 正確なエネルギー汎関数 $\mathcal{E}_e(u,v)$ 及びその離散残差 $RE_e(u^n,v^n)$ に対するスキームの挙動を分析すること。
• 正則化解 $u^n_\varepsilon$ が $\varepsilon \to 0$ の際に非負の極限に収束するかどうかを調査すること。

提案手法

• 正則化法を用いて、$p \in (1,2)$ の連続問題に対して弱解-強解の存在を証明する。
• 変数 $(u,v)$ に関する1つのスキーム、および $\boldsymbol{\sigma} = \nabla v$ を補助変数として導入する2つのスキームを提案する。
• 変分的定式化と離散的エネルギー推定を用いて、すべてのスキームの無条件解消可能性と質量保存性を証明する。
• 適切なメッシュ制約の下で、修正エネルギー $\mathcal{E}^h_\varepsilon(u,v)$、$\mathcal{E}^h_\varepsilon(u,\boldsymbol{\sigma})$、$\mathcal{E}^h(u,\boldsymbol{\sigma})$ に対する無条件エネルギー安定性を確立する。
• $\mathbb{P}_1$-連続有限要素を $v$ に用い、$\Pi^h(u^n_{\varepsilon-})$ の $L^2$-ノルムを制御するための正則化項 $\varepsilon$ を導入する。
• $k=10^{-5}$、$h=1/25$、$p=1.4$、初期条件 $u_0 = 14\cos(2\pi x)\cos(2\pi y)+14.0001$、$v_0 = -14\cos(2\pi x)\cos(2\pi y)+14.0001$ を用いた数値実験を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形生成項 $u^p$ ($1<p<2$) を有する化学的反発モデルは、弱解-強解を有するか？
• RQ2 完全離散有限要素スキームを設計することができ、無条件にエネルギー安定かつ質量保存的であるか？
• RQ3 エネルギー減衰および数値的散逸の観点から、スキーム US0、USε、UV、UVε はどのように比較されるか？
• RQ4 離散的エネルギー残差 $RE_e(u^n,v^n)$ は、正確なエネルギーに対するエネルギー安定性を示すために非正であるか？
• RQ5 正則化解 $u^n_\varepsilon$ は $\varepsilon \to 0$ の際に非負性および収束性の観点でどのように振る舞うか？

主な発見

• 正則化法を用いて、$p \in (1,2)$ の連続問題に対して弱解-強解の存在が証明された。
• メッシュ制約（直角をなすメッシュ）の下で、スキーム UVε と USε はそれぞれ修正エネルギー $\mathcal{E}^h_\varepsilon(u,v)$ および $\mathcal{E}^h_\varepsilon(u,\boldsymbol{\sigma})$ に対して無条件エネルギー安定である。
• メッシュ制約なしで、スキーム US0 は修正エネルギー $\mathcal{E}^h(u,\boldsymbol{\sigma})$ に対して無条件エネルギー安定である。
• 数値実験の結果、4つのスキーム（UV、US0、UVε、USε）とも時間の経過とともにエネルギー $\mathcal{E}_e(u,v)$ が減少することが示された。
• スキーム US0 と USε はすべての $t_n$ で $RE_e(u^n,v^n) \leq 0$ を満たし、離散的エネルギー安定性を示したが、UV と UVε は一部の $t_n$ でこの条件を満たさなかった。
• スキーム UVε は US0 や USε よりも低い数値的散逸を示し、UV よりも低い数値的源項を持つため、正確なエネルギーの意味での無条件エネルギー安定性がなくても、数値的により高精度であることが分かった。