[論文レビュー] Analysis of a diffuse interface model of multispecies tumor growth

Mimi Dai, Eduard Feireisl+3 more|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2015

Mathematical Biology Tumor Growth参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、細胞接着力によって生じる狭い遷移層によって鋭い界面を置き換える拡散界面モデルを用いて、複数種の腫瘍成長を分析する。非線形なCahn-Hilliard、Darcy、輸送、反応拡散方程式の連立系に対して弱解の存在を確立し、拡散界面パラメータεが0に近づく極限における収束を証明する。

ABSTRACT

We consider a diffuse interface model for tumor growth recently proposed in [Y. Chen, S.M. Wise, V.B. Shenoy, J.S. Lowengrub, A stable scheme for a nonlinear, multiphase tumor growth model with an elastic membrane, Int. J. Numer. Methods Biomed. Eng., 30 (2014), 726-754]. In this new approach sharp interfaces are replaced by narrow transition layers arising due to adhesive forces among the cell species. Hence, a continuum thermodynamically consistent model is introduced. The resulting PDE system couples four different types of equations: a Cahn-Hilliard type equation for the tumor cells (which include proliferating and dead cells), a Darcy law for the tissue velocity field, whose divergence may be different from 0 and depend on the other variables, a transport equation for the proliferating (viable) tumor cells, and a quasi-static reaction diffusion equation for the nutrient concentration. We establish existence of weak solutions for the PDE system coupled with suitable initial and boundary conditions. In particular, the proliferation function at the boundary is supposed to be nonnegative on the set where the velocity ${\bf u}$ satisfies ${\bf u}\cdotν>0$, where $ν$ is the outer normal to the boundary of the domain. We also study a singular limit as the diffuse interface coefficient tends to zero.

研究の動機と目的

• 熱力学的に整合的な複数種の腫瘍成長の拡散界面モデルに対する弱解の存在を確立すること。
• 拡散界面パラメータε → 0 の特異極限におけるモデルの挙動を分析すること。
• 機械的相互作用、栄養動態、および細胞の増殖・死滅を1つのPDE系に統合すること。
• Darcy速度場における非ゼロの発散と、細胞フラックスにおける非自明な境界条件を扱うこと。
• 適切な仮定の下で、拡散界面モデルが鋭い界面極限に収束することを厳密に裏付けること。

提案手法

• 腫瘍細胞の割合（増殖中および死滅した細胞）を記述するCahn-Hilliard型方程式を用いて拡散界面モデルを定式化し、Korteweg力が含まれるDarcy型速度則と結合する。
• 生存可能な腫瘍細胞を記述する輸送方程式と、栄養濃度を記述する準静的反応拡散方程式を導入する。
• 増殖が領域外へ流れ出す場合（u·ν > 0）にのみ許容される境界条件を課す。
• エネルギー推定を導出し、コンパクト性の議論を用いて拡散界面パラメータに関する極限に移行する。
• 弱収束と一様有界性を用いて、特異極限ε → 0における極限系を同定する。
• 自由エネルギー汎関数Fの厳密な凸性を用いて高階項を制御し、収束を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複数種の細胞と栄養動態を含む完全な拡散界面腫瘍成長モデルに対して、弱解が存在するか？
• RQ2 拡散界面の厚さが0に近づく極限におけるモデルの挙動はいかなるものか？
• RQ3 特に流れ出る場合に、速度場と細胞フラックスは境界でどのように振る舞うか？
• RQ4 特異極限において、この系を鋭い界面モデルに厳密に結びつけることができるか？
• RQ5 Korteweg力は解の正則性および収束性においてどのような役割を果たすか？

主な発見

• 初期条件および境界条件が適切に設定された場合、非負の増殖が流出境界で許容される条件下で、完全なPDE系に対して弱解の存在が確立される。
• 系は全エネルギー散逸則を満たし、熱力学的整合性が保証される。
• 特異極限ε → 0において、拡散界面モデルはμ = F′(Φ)を満たすCahn-Hilliard型系に収束し、速度場は0に近づく。
• 極限系はエネルギー恒等式 d/dt ∫Ω F(Φ) dx + ∫Ω |∇xμ|² dx = 0 を満たし、エネルギーの減衰を示す。
• ∇xΦおよびεΔΦに関するコンパクト性と一様推定により、近似解列の収束が保証される。
• 極限系は自由境界を有する鋭い界面モデルに対応し、腫瘍細胞割合Φは非線形移動度項を含む反応拡散過程に従って進化する。