[論文レビュー] Analysis of a micro-macro acceleration method with minimum relative entropy moment matching

Tony Lelièvre, Giovanni Samaey+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2018

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 54被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、時間スケール分離を示す剛性のある確率微分方程式に対して、最小相対エントロピーを用いて微視的状態を外挿された巨視的変数に一致させるマイクロマクロ加速法を分析している。この手法は、事前分布と一致分布の間のカルバック・ライバラー発散を最小化することにより、数値的安定性と弱収束を保証しており、外挿時間ステップと巨視的変数の数を用いた厳密な誤差評価が得られている。

ABSTRACT

We analyse convergence of a micro-macro acceleration method for the Monte Carlo simulation of stochastic differential equations with time-scale separation between the (fast) evolution of individual trajectories and the (slow) evolution of the macroscopic function of interest. We consider a class of methods, presented in [Debrabant, K., Samaey, G., Zieli\\'nski, P. A micro-macro acceleration method for the Monte Carlo simulation of stochastic differential equations. SINUM, 55 (2017) no. 6, 2745-2786], that performs short bursts of path simulations, combined with the extrapolation of a few macroscopic state variables forward in time. After extrapolation, a new microscopic state is then constructed, consistent with the extrapolated variable and minimising the perturbation caused by the extrapolation. In the present paper, we study a specific method in which this perturbation is minimised in a relative entropy sense. We discuss why relative entropy is a useful metric, both from a theoretical and practical point of view, and rigorously study local errors and numerical stability of the resulting method as a function of the extrapolation time step and the number of macroscopic state variables. Using these results, we discuss convergence to the full microscopic dynamics, in the limit when the extrapolation time step tends to zero and the number of macroscopic state variables tends to infinity.

研究の動機と目的

• 高速な微視的ダイナミクスと遅い巨視的観測量を有するマルチスケール確率微分方程式に対して、安定的かつ高精度なマイクロマクロ加速法を開発すること。
• 外挿された巨視的変数に微視的状態を一致させる際の不適切な定式化を、相対エントロピー最小化を正則化推論手順として用いることで解決すること。
• 外挿時間ステップと巨視的変数の数を関数として、局所誤差と数値的安定性を厳密に分析すること。
• 外挿時間ステップが0に近づき、巨視的変数の数が無限に近づく極限において、この手法が真の微視的ダイナミクスに収束することを確立すること。
• マルチスケールシミュレーションにおける分布一致に、相対エントロピーを理論的・実用的に妥当な尺度として用いる根拠を提示すること。

提案手法

• 時間ステップδtの短い微視的シミュレーションのバーストを用い、L 個の観測量 E[R_l(X_t)] の巨視的時間微分を推定する。
• 推定された微分を用いて、δt ≪ Δt であるより大きな時間ステップΔtで巨視的状態変数m_lを外挿する。
• 事前分布μ（直前の微視的状態からのもの）を前提として、モーメント制約E[R_l(X)] = m_l を満たすように、相対エントロピーI(ν||μ) を最小化する新しい微視的分布νを構築する。
• 最小化問題 (1.3) は指数型分布族のパrameterizationを用いて解かれ、対数生成関数A(λ, μ) を含むラグランジュ乗数形式に帰着する。
• 一致手順は、相対エントロピーを用いた確率測度の空間上の射影として解釈され、事前分布からの最小限の摂動を保証する。
• 理論的分析は、ラグランジュ乗数の連続性および有界性、および巨視的状態と事前測度への依存性に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相対エントロピー最小化戦略は、マイクロマクロ加速法の安定性および局所誤差にどのように影響を与えるか？
• RQ2 数値誤差は外挿時間ステップΔtと巨視的変数の数Lにどのように依存するか？
• RQ3 Δt → 0 かつ L → ∞ のとき、マイクロマクロ法は真の微視的ダイナミクスに収束する条件は何か？
• RQ4 この文脈において、微視的状態を巨視的制約に一致させるために相対エントロピーが適切な尺度である理由は何か？
• RQ5 一致手順は、事前測度および外挿された巨視的状態の摂動に対してどれほど感度を示すか？

主な発見

• 局所誤差は外挿時間ステップΔtが小さくなるにつれて減少し、その収束速度は元のダイナミクスの滑らかさに依存する。
• ラグランジュ乗数および対数生成関数のヘッセ行列の有界性と連続性の仮定のもとで、数値的安定性が保証される。
• 事前測度と巨視的状態から一致分布への写像は全 variation 範囲で連続であり、入力の摂動に対して頑健であることが保証される。
• 対数生成関数のヘッセ行列の逆行列は、コンパクト集合上で一様に有界であり、最適化問題の適切な定式化を保証する。
• 相対エントロピー最小化フレームワークにより、一致分布νは外挿された巨視的状態を満たす条件下で、事前分布μに対する最小情報量の摂動であることが保証される。
• Δt → 0 かつ L → ∞ の極限において、この手法は弱収束により真の微視的ダイナミクスに収束し、長時間シミュレーションにおける一貫性が確立される。