[論文レビュー] Analysis of a Mixed Discontinuous Galerkin method for incompressible magnetohydrodynamics

Weifeng Qiu, Ke Shi|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2017

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、不変性を満たすためのラグランジュ乗数を導入する混合不連続ガレルキン（DG）法を提案し、不連続多項式に対する新しい離散ソボレフ埋め込み推定式を用いて、最適な事前誤差推定式を導出する。速度、磁場、圧力に関してエネルギーノルムで最適収束率を確立し、ラグランジュ乗数についても最適でないが安定な収束を示す。これは非線形MHD系に適用されたDG法に関する初めての解析である。

ABSTRACT

In this paper we propose and analyze a mixed DG method for the stationary Magnetohydrodynamics (MHD) equations. The numerical scheme is based a recent work proposed by Houston et. al. for the linearized MHD. With a novel discrete Sobolev embedding type estimate for the discontinuous polynomials, we provide a priori error estimates for the method on the nonlinear MHD equations. In the smooth case, we have optimal convergence rate for the velocity, magnetic field and pressure in the energy norm, the Lagrange multiplier only has suboptimal convergence order. With the minimal regularity assumption on the exact solution, the approximation is optimal for all unknowns. To the best of our knowledge, this is the first a priori error estimates of DG methods for nonlinear MHD equations.

研究の動機と目的

• 定常非圧縮性磁力学流体（MHD）方程式を解くための安定的かつ高精度な数値スキームの開発。
• 線形化MHDに関する先行研究を、完全非線形ケースに拡張するため、混合不連続ガレルキン式を用いる。
• 正確な解の正則性を最小限に仮定した状況下で、非線形MHD系に対する厳密な事前誤差推定式の確立。
• すべての解成分、特にラグランジュ乗数を含めた収束挙動の分析を、最適および非最適収束の両状態で行う。

提案手法

• 定常MHD方程式に対して、速度、磁場、圧力、および非圧縮性を強制するためのラグランジュ乗数という混合変数を用いた混合不連続ガレルキン法を定式化する。
• すべての変数に対して不連続多項式近似を採用し、局所的質量保存および局所的適応性を実現する。
• 誤差解析における非線形項を制御するため、不連続多項式専用の新しい離散ソボレフ埋め込み型推定式を導出する。
• インフラ・安定性および整合性の議論に加え、補間誤差推定式と逆不等式を用いる。
• MHD方程式の弱形式から導かれる変分式に基づくスキームであり、数値フラックスを安定性と整合性を保つように選択する。
• 最小限の正則性仮定のもとで、速度、磁場、圧力がエネルギーノルムで最適収束を示すことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 混合不連続ガレルキン法は、非線形非圧縮性MHD方程式においてすべての変数について最適収束を達成できるか？
• RQ2 非線形MHDに対する混合DG法におけるラグランジュ乗数の収束挙動はいかなるものか？
• RQ3 正確な解の正則性を最小限に仮定した状況下で、DG法を用いて非線形MHDの事前誤差推定式を導出可能か？
• RQ4 提案された離散ソボレフ埋め込み推定式は、MHDに対するDG法の安定性および収束解析をどのように向上させるか？
• RQ5 提案されたスキームは、結合された速度および磁場ダイナミクスを含む、完全非線形MHD系に対し安定的かつ収束的か？

主な発見

• 滑らかな解の仮定のもとで、速度、磁場、圧力がエネルギーノルムで最適収束率を達成する。
• ラグランジュ乗数は最適でない収束次数を示すが、近似は安定的かつ整合的である。
• 正確な解の正則性を最小限に仮定した状況下で、ラグランジュ乗数を含むすべての未知数について、近似が最適である。
• 不連続多項式に対する新しい離散ソボレフ埋め込み推定式は、事前誤差境界を導出する上で中心的な役割を果たす。
• 本研究は、非線形非圧縮性MHD方程式に適用された不連続ガレルキン法に対する最初の事前誤差推定式を提示する。
• 解析により、混合DGスキームのロバスト性およびさまざまな正則性領域における収束特性が確認された。