[論文レビュー] Analysis of a mixed finite element method for the quad-curl problem

Gang Chen, Weifeng Qiu+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2018

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 30被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Lipschitz多面体領域における四 curl 問題に対して、分(piecewise)多項式関数に対する新しい離散ソボレフ埋め込み不等式を活用して、低い正則性仮定のもとで最適な誤差推定を得る、新しい混合有限要素法を提案する。主な貢献は、新たな正則性結果と、正確な解の滑らかさ要件を最小限に抑えた最適収束速度の確立である。

ABSTRACT

Quad-curl term plays an essential role in the numerical analysis of the resistive magnetohydrodynamics (MHD) and the forth order inverse electromagnetic scattering problem. It is desirable to develop simple and efficient numerical methods for the quad-curl problem. In this paper, we firstly give a regularity result for the quad-curl problem on Lipschitz polyhedron domains, which is {\em new} in literatures. Then, we propose a mixed finite element method for the quad-curl problem. With {\em novel} discrete Sobolev embedding inequalities for the piecewise polynomials, we obtain stability results and derive {\em optimal} error estimates relying on a low regularity assumption of the exact solution. To the best of our knowledge, this low regularity assumption is {\em lower} than the regularity requirements in existing works.

研究の動機と目的

• Lipschitz多面体領域における四 curl 問題の新たな正則性結果を確立すること。これは文献において初めてのものである。
• 四 curl 問題を解くための単純かつ効率的な混合有限要素法を開発すること。
• 正確な解に対して低い正則性仮定のもとで最適な誤差推定を導出すること。これにより、既存の研究を改善する。
• 分(piecewise)多項式有限要素空間に特化した新しい離散ソボレフ埋め込み不等式を用いて、安定性結果を提供すること。

提案手法

• 四 curl 問題に対して、高階微分を扱うために追加変数を導入した混合有限要素式を提案する。
• 四面体メッシュ上での分(piecewise)多項式関数に特化した、新しい離散ソボレフ埋め込み不等式を導出する。
• 変分式に基づく定式化を採用し、偏微分方程式および境界条件を弱く強制する。
• 新しい離散不等式を用いて安定性を証明し、有限要素空間内での高階微分を制御する。
• 解に対して H^1(Ω) ∩ H^2(Ω) のような低い正則性仮定のもとで、最適な誤差推定を導出する。
• 解析は、滑らかでない幾何形状にも適用可能なLipschitz多面体領域上で行われる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 四 curl 問題の混合有限要素法が最適収束を示すために、正確な解に必要な最小正則性は何か？
• RQ2 既存の手法よりも低い正則性仮定のもとで、混合有限要素法が最適な誤差推定を達成できるか？
• RQ3 四 curl 問題の文脈において、分(piecewise)多項式近似の安定性と最適収束を確立するために必要な新しい離散ソボレフ不等式は何か？
• RQ4 Lipschitz多面体領域における四 curl 問題の解の正則性は、どのように解析できるか？
• RQ5 混合式の役割は、低い正則性のもとで最適収束を可能にするために果たすか？

主な発見

• Lipschitz多面体領域における四 curl 問題の新たな正則性結果が確立され、これは文献において初めてのものである。
• 提案された混合有限要素法は、正確な解に対して H^1(Ω) ∩ H^2(Ω) のような低い正則性仮定のもとで、最適な誤差推定を達成する。
• 分(piecewise)多項式有限要素空間に特化した新しい離散ソボレフ埋め込み不等式のおかげで、この方法は安定である。
• 本研究で用いられる正則性仮定は、既存の研究よりも低いものであり、滑らかでない解への適用性を高めている。
• 正確な解が完全な H^3 正則性を持たない場合でも、混合有限要素法の最適収束速度が証明されている。
• 解析により、最小限の滑らかさ条件のもとで、この方法が最適収束を維持することが確認された。したがって、正則性が制限される実用的問題に適している。