[論文レビュー] Analysis of a Sinclair-type domain decomposition solver for atomistic/continuum coupling

Max Hodapp|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2019

Electromagnetic Simulation and Numerical Methods参考文献 34被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、原子論的/連続体カップリングのためのシンクレイン型領域分割ソルバを、離散境界要素法と柔軟な境界条件を組み合わせることで、有界領域に一般化する。1次元問題において無条件安定性を証明し、伝達条件の緩和によって収束を加速し、線形および非線形問題において従来の交互シュワーツ法よりも優れた効率性を示す。

ABSTRACT

The "flexible boundary condition" method, introduced by Sinclair and coworkers in the 1970s, remains among the most popular methods for simulating isolated two-dimensional crystalline defects, embedded in an effectively infinite atomistic domain. In essence, the method can be characterized as a domain decomposition method which iterates between a local anharmonic and a global harmonic problem, where the latter is solved by means of the lattice Green function of the ideal crystal. This local/global splitting gives rise to tremendously improved convergence rates over related alternating Schwarz methods. In a previous publication (Hodapp et al., 2019, Comput. Methods in Appl. Mech. Eng. 348), we have shown that this method also applies to large-scale three-dimensional problems, possibly involving hundreds of thousands of atoms, using fast summation techniques exploiting the low-rank nature of the asymptotic lattice Green function. Here, we generalize the Sinclair method to bounded domains and develop an implementation using a discrete boundary element method to correct the infinite solution with respect to a prescribed far-field condition, thus preserving the advantage of the original method of not requiring a global spatial discretization. Moreover, we present a detailed convergence analysis and show for a one-dimensional problem that the method is unconditionally stable under physically motivated assumptions. To further improve the convergence behavior, we develop an acceleration technique based on a relaxation of the transmission conditions between the two subproblems. Numerical examples for linear and nonlinear problems are presented to validate the proposed methodology.

研究の動機と目的

• 無限領域を想定して設計されたシンクレイン型領域分割法を、原子論的/連続体カップリングにおける有界計算領域へ拡張すること。
• 遠方境界条件を満たすために、遠方領域の補正に離散境界要素法（DBEM）を用いることで、グローバルボリュームメッシュを避けることにより、収束の高速化を維持すること。
• 1次元問題において、物理的に妥当な仮定の下で、無条件安定性を厳密に証明する収束解析を確立すること。
• 局所的な非調和部分問題とグローバルな調和部分問題の間の伝達条件に対して、緩和技術を用いて収束を加速すること。
• 数値例を通じて、線形および非線形問題における本手法の有効性を検証すること。

提案手法

• 遠方境界条件を満たすために、無限領域解を修正するための離散境界要素法（DBEM）を用いてグローバル調和問題を解くことで、シンクレイン法を有界領域に一般化する。
• 局所/グローバル分割を採用：局所問題は完全に原子論的（非調和的）であり、グローバル問題は調和的であり、格子グリーン関数を用いて解かれる。
• 局所非調和問題とグローバル調和問題の間で固定点反復を実装し、サブドメイン間の伝達条件を導入する。
• 伝達条件の緩和技術を導入することで収束を加速し、標準的な交互シュワーツ法を上回る。
• 3次元問題において、数百数千原子のスケーラビリティを確保するため、漸近的格子グリーン関数の低ランク構造を活用した高速和算技術を採用する。
• LU分解と余因子展開を用いてシステム行列の逆行列を導出し、安定性および主要係数の正値性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シンクレイン型領域分割ソルバは、収束性と安定性の特性を保ちつつ、有界領域へ一般化可能か？
• RQ2 特にシステム行列が正定値である場合に、1次元問題において物理的に妥当な仮定の下で、本手法は無条件安定か？
• RQ3 安定性や精度を損なわず、収束をどのように加速できるか？
• RQ4 離散境界要素法は、グローバルボリュームメッシュを必要とせずに、遠方境界条件を効果的に強制できるか？
• RQ5 緩和された伝達条件は、原子論的/連続体カップリング問題における固定点反復の収束速度にどのような影響を与えるか？

主な発見

• 物理的に妥当な仮定の下で、1次元問題においてシステム行列の行列式評価と行列式の上限を用いた行列解析により、本手法は無条件安定であることが証明された。
• システム行列の逆行列係数が正値であることが示され、反復スキームの適切な定式化と安定性が保証された。
• 離散境界要素法は、グローバルボリュームメッシュを必要とせずに、遠方境界条件を効果的に強制でき、計算効率が維持された。
• 緩和された伝達条件は収束を顕著に加速し、標準的な交互シュワーツ法を上回った。
• 数値例により、線形および非線形問題において本手法が頑健に機能することが確認され、理論的収束性および安定性の結果が裏付けられた。
• 格子グリーン関数の低ランク構造を活用することで、本手法は数百数千原子の大きな3次元問題に対しても、効率的にスケーリング可能であることが示された。