[論文レビュー] Analysis of A Splitting Scheme for Damped Stochastic Nonlinear Schrödinger Equation with Multiplicative Noise

Jianbo Cui, Jialin Hong|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、乗法的ノイズを伴う減衰付き確率的非線形シュレーディンガー方程式に対する分割スキームを分析し、時間に依存しない強収束次数 1/2 および弱収束次数 1 の収束率を証明している。解析は十分な減衰下での指数的可積分性と事前推定に依拠し、非単調な非線形性に対しても安定性と収束性を確立している。

ABSTRACT

In this paper, we investigate the damped stochastic nonlinear Schrödinger(NLS) equation with multiplicative noise and its splitting-based approximation. When the damped effect is large enough, we prove that the solutions of the damped stochastic NLS equation and the splitting scheme are exponential stable and possess some exponential integrability. These properties lead that the strong order of the scheme is $\frac 12$ and independent of time. Meanwhile, we analyze the regularity of the Kolmogorov equation with respect to the equation. As a consequence, the weak order of the scheme is shown to be twice the strong order and independent of time.

研究の動機と目的

• 減衰付き確率的非線形シュレーディンガー方程式に適用可能な時間分割数値スキームの開発および分析を行う。
• 時間に依存しない強収束次数 1/2 および弱収束次数 1 を、そのスキームに対して確立する。
• 十分な減衰の下で、正確解および数値解の指数的安定性と指数的可積分性を証明する。
• 減衰付き確率的 NLS に関連するコルモゴロフ方程式の正則性を分析し、弱収束次数を導出する。
• 収束結果を、非単調的かつ非リプシッツ非線形性へと拡張する。これは確率的偏微分方程式の文脈であまり研究されていない分野である。

提案手法

• 分割スキームは、確率的 NLS を線形（シュレーディンガー）および非線形（減衰／ノイズ）の部分問題に分解し、時間ステップごとに逐次解く。
• 正確解および数値解の指数的可積分性は、[9, コロナリー 2.4] からの補題を用いて確立され、これにより強誤差推定が可能になる。
• 十分に大きな減衰係数 α の下で、正確解および分割スキームのための事前推定と指数的安定性が証明される。
• 弱収束次数は、減衰付き確率的 NLS に関連するコルモゴロフ方程式の正則性を分析することによって導出され、指数的可積分性と解フローの強い連続性を活用する。
• 誤差項を時間区間内で制御するために、半群理論と確率的解析（伊藤の公式および確率積分のバウンドを含む）を用いる。
• 誤差を三つの成分（W₁, W₂, W₃）に分解し、それぞれを指数的減衰およびモーメント推定を用いて有界化することで、スキームの収束性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 減衰付き確率的 NLS 方程式に適用される分割スキームの強収束次数は何か？
• RQ2 同じスキームの弱収束次数は何か？また、これは時間ステップサイズに依存するか？
• RQ3 減衰付き確率的 NLS の正確解が指数的安定性および指数的可積分性を示す条件は何か？
• RQ4 コルモゴロフ方程式の正則性は、数値スキームの弱収束速度にどのように影響するか？
• RQ5 非単調的・非リプシッツ非線形性に対し、収束率を時間に依存せずに確立できるか？

主な発見

• 分割スキームの強収束次数が 1/2 に達することを証明し、これは時間ステップサイズに依存しない。
• スキームの弱収束次数が 1 に達することを示し、この結果も時間に依存しない。
• 十分に大きな減衰係数の下で、正確解および数値解の両方が指数的安定性を示し、指数的可積分性を持つ。
• 減衰付き確率的 NLS に関連するコルモゴロフ方程式は、弱収束解析を支えるのに十分な正則性を持つことが示された。
• 弱収束の誤差推定は、三つの成分（W₁, W₂, W₃）への分解を経て導出され、それぞれが O(τ²) で有界であり、合計で O(τ) の誤差バウンドが得られる。
• 初期データ u₀ ∈ ℍ⁴、減衰係数 α ∈ ℍ⁴、ノイズ作用素 Q¹ᐟ² が有限な ℒ₂⁴ 範囲を持つという仮定の下で、解析が成り立つ。