[論文レビュー] Analysis of a Time Multigrid Algorithm for DG-Discretizations in Time

Martin J. Gander, Martin Neumüller|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2014

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 21被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、時間方向の不連続ガラーキン（DG）離散化に適した時間多重グリッド法を提示し、解析する。ブロックヤコビ smoother と時間方向の標準的制限／補間を用いる。漸近的に最適なスムージングパrameter を導出し、2グリッド法の鋭い収束推定を証明することで、大規模システムにおける放物型PDEの並列時間解法を効率的に可能にする。

ABSTRACT

We present and analyze for a scalar linear evolution model problem a time multigrid algorithm for DG-discretizations in time. We derive asymptotically optimized parameters for the smoother, and also an asymptotically sharp convergence estimate for the two grid cycle. Our results hold for any A-stable time stepping scheme and represent the core component for space-time multigrid methods for parabolic partial differential equations. Our time multigrid method has excellent strong and weak scaling properties for parallelization in time, which we show with numerical experiments.

研究の動機と目的

• 時間離散化にDGを用いた時間発展問題に対する頑健な多重グリッド法の開発と解析を目的とする。
• 従来の空間のみの粗化に起因する制限を克服することで、時間方向の並列化を効率的に実現することを目的とする。
• 時間成分を独立して解析することで、空間時間多重グリッド法の理論的基盤を提供することを目的とする。
• 2グリッドサイクルに対する漸近的に最適なスムージングパラメータと収束境界を確立することを目的とする。
• 大規模スパコン上での強スケーリングおよび弱スケーリングの性能を実証することを目的とする。

提案手法

• 時間方向に次数 $ p_t $ の不連続ガラーキン（DG）時間離散化を用い、時間界面における連続性を弱く強制する。
• DG時間離散化から生じる線形系にブロックヤコビ smoother を適用し、漸近的に最適化されたスムージングパラメータを用いる。
• 時間方向に標準的制限・補間作用素を適用することで、時間次元における完全な粗化を可能にする。
• フーリエモード解析を用いて、2グリッド法の最適スムージングパラメータと収縮係数を特定する。
• 2グリッド収束解析を用いて、時間刻みサイズに依存しない漸近的に鋭い収縮推定を確立する。
• モンテローザおよびビエナ・サイエンティフィック・スパコン上で数値実験を実施し、スケーラビリティを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間多重グリッド法において、DG離散化を用いたブロックヤコビ smoother の最適スムージングパラメータは何か？
• RQ2 時間多重グリッド法は、DG時間離散化に対してメッシュに依存しない収束性を達成できるか？
• RQ3 2グリッド法の収束特性は、時間離散化次数 $ p_t $ およびスムージングパラメータにどのように依存するか？
• RQ4 大規模並列アーキテクチャ上での提案手法の強スケーリングおよび弱スケーリング特性は何か？
• RQ5 本手法は、空間方向の効率的解法を備えた放物型PDEに対する完全な空間時間多重グリッドに拡張可能か？

主な発見

• ブロックヤコビ smoother の漸近的に最適なスムージングパラメータが導出され、2グリッド法の収束速度が最良となることが保証される。
• 鋭い2グリッド収縮推定が証明され、時間刻みサイズに依存せず、任意のA安定な時間積分スキームに対して有効であることが示された。
• 強スケーリングは優れた性能を示す：コア数を2倍にすると計算時間は概ね半減し、局所問題サイズの制限まで続く。
• 弱スケーリングも優れている：問題サイズとコア数を比例的に増加させても、合計解法時間はほぼ一定を維持する。
• 131,120,896自由度の大きな問題に対して、2048コアで並列実行した場合、逐次前進代入法に比べて1000倍の高速化が達成された。
• 多項式次数 $ p_t $ の変化に関わらず、安定した性能を維持し、$ p_t $ の増加に伴い計算時間も有利にスケーリングする。