[論文レビュー] Analysis of an asymptotic preserving scheme for stochastic linear kinetic equations in the diffusion limit

Nathalie Ayi, Erwan Faou|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2018

Gas Dynamics and Kinetic Theory参考文献 18被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、乗法的ノイズを伴う確率的線形運動方程式に対して、分布関数を巨視的および微視的成分に分解するマイクロマクロ分解を用いた、新しい漸近保存（AP）スキームを提示する。このスキームは、テレグラフモデルおよび一般の場合において、明示的なCFL条件の下でε → 0 であっても、運動的および拡散的領域の両方で正確かつ効率的なシミュレーションを保証する、一様に安定であることが証明されている。

ABSTRACT

We present an asymptotic preserving scheme based on a micro-macro decomposition for stochastic linear transport equations in kinetic and diffusive regimes. We perfom a mathematical analysis and prove that the scheme is uniformly stable with respect to the mean free path of the particles in the simple telegraph model and in the general case. We present several numerical tests which validate our scheme.

研究の動機と目的

• 乗法的ノイズを伴う確率的線形輸送方程式に対して、運動的および拡散的領域の両方で安定かつ正確に保てる数値スキームの開発を目的とする。
• 乗法的ウィーナーノイズを伴う確率的偏微分方程式への漸近保存（AP）フレームワークの拡張を目的とし、AP文献における画期的な貢献である。
• スケーリングパラメータε（平均自由行程）に対して一様に安定であることを証明し、ε → 0 の際の頑健性を保証することを目的とする。
• 異なるε値における明示的スキームおよびクランクニコルソンスキームとの比較を通じて、数値的検証を実施することを目的とする。

提案手法

• 衝突作用素の保存則および平衡性に基づき、分布関数fを巨視的成分ρと微視的成分gにマイクロマクロ分解する。
• 剛性領域における安定性を確保するため、結合されたマイクロマクロ系に半implicit時間離散化を適用する。
• cylindricalウィーナー過程dWtを用いて乗法的ノイズを組み込み、自己随伴作用素Qが可 summability 条件を満たすように、ストキャスティック積分でモデル化する。
• 伊藤積分とストキャスティックグロワールド型の議論を用いてエネルギー推定を導出し、CFL条件の下での安定性を確立する。
• ε → 0 の極限で拡散方程式ソルバーに還元されるストキャスティックAPスキーム（SMM）を実装する。これにより、漸近的挙動が保存される。
• 周期的境界条件を伴う有限差分空間離散化を採用し、アンサンブル平均を計算するために100回の確率的実現を実行する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 乗法的ノイズを伴う確率的線形運動方程式に対して、漸近保存スキームを構築可能か？
• RQ2 提案されたスキームは、テレグラフモデルおよび一般の場合において、平均自由行程εに対して一様に安定か？
• RQ3 スキームは、運動的（ε=1）および拡散的（ε=10⁻²）領域の両方で、精度と安定性を維持するか？
• RQ4 一般の場合における安定性を保証するCFL条件は何か？また、この条件はεおよび空間分解能にどのように依存するか？
• RQ5 SMMスキームの性能は、明示的およびクランクニコルソンスキームと比較して、平均密度の時間発展においてどのように異なるか？

主な発見

• テレグラフモデルにおいて、エネルギー推定と伊藤積分を用いた証明により、εに対して一様に安定であることが示された。
• 一般の場合において、明示的なCFL条件の下で安定性が確立された：Δt ≤ (σ̃Δx²)/(2(2+ε)) + (εΔx)/(2+ε)。これにより、エネルギーノルムの成長が有界であることが保証された。
• エネルギー推定から、巨視的密度ρおよび微視的フラクチュエーションgの期待値のL²ノルムの二乗が時間とともに有界に保たれ、ノイズ係数に依存する定数によって制御されることを示した。
• 数値実験により、SMMスキームが運動的（ε=1）および拡散的（ε=10⁻²）領域の両方で、参照解と一致する平均密度ρを正確に捉えていることが確認された。
• ε → 0 の極限で、スキームが自然に拡散方程式ソルバーに還元されることを確認し、確率的設定下での漸近保存性が裏付けられた。
• 有限時間区間ではスキームは安定を保つが、ストキャスティックエネルギー推定の性質上、無限時間への拡張は証明に含まれない。