[論文レビュー] Analysis of Asymptotically Optimal Sampling-based Motion Planning Algorithms for Lipschitz Continuous Dynamical Systems

Γεώργιος Παπαδόπουλος, Hanna Kurniawati+1 more|arXiv (Cornell University)|May 12, 2014

Robotic Path Planning Algorithms参考文献 14被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、制御空間を直接サンプリングすることで、ステアリング関数を必要とせず、リプシッツ連続な力学的システムに対して漸近的最適性を達成する、新しいサンプリングベースの運動計画フレームワークを提案する。主な貢献は、このような計画法が確率1で最適軌道に収束することの理論的証明であり、制御空間の次元とリプシッツ定数に依存する収束速度の境界が導出されていることである。

ABSTRACT

Over the last 20 years significant effort has been dedicated to the development of sampling-based motion planning algorithms such as the Rapidly-exploring Random Trees (RRT) and its asymptotically optimal version (e.g. RRT*). However, asymptotic optimality for RRT* only holds for linear and fully actuated systems or for a small number of non-linear systems (e.g. Dubin's car) for which a steering function is available. The purpose of this paper is to show that asymptotically optimal motion planning for dynamical systems with differential constraints can be achieved without the use of a steering function. We develop a novel analysis on sampling-based planning algorithms that sample the control space. This analysis demonstrated that asymptotically optimal path planning for any Lipschitz continuous dynamical system can be achieved by sampling the control space directly. We also determine theoretical bounds on the convergence rates for this class of algorithms. As the number of iterations increases, the trajectory generated by these algorithms, approaches the optimal control trajectory, with probability one. Simulation results are promising.

研究の動機と目的

• RRT* などの既存の漸近的最適計画法が微分制約を伴う複雑な力学的システムではしばしば不実行となるステアリング関数を必要としているという限界を是正すること。
• リプシッツ連続系に対して、制御空間を直接サンプリングすることでステアリング関数なしに漸近的最適性を達成できることを確立すること。
• 制御空間サンプリングに基づく計画法の理論的収束速度境界を導出することにより、収束速度に影響を与える主要なシステムパラメータを同定すること。
• アンダーアクチュエーテッドおよび非ホロノミック系に適した、制御空間上で直接動作する漸近的最適運動計画アルゴリズムの族を開発すること。
• 最小限の仮定（リプシッツ連続性のみ）の下で、制御空間サンプリングアルゴリズムの最適性および収束性に関する厳密な理論的分析を提供すること。

提案手法

• 本手法は、配置空間ではなく制御空間から制御入力を直接サンプリングすることで、ステアリング関数の必要性を回避する。
• 木構造のサンプリング戦略を採用し、新たな制御サンプルを用いて既存の軌道を拡張することで、反復処理の過程で実行可能性とコストの低下を保証する。
• 再帰的確率境界を用いて、近似的最適パスに到達する可能性をモデル化し、条件付き確率とサンプリング密度を組み込む。
• 重要な式として、反復 j における成功確率を表す式が提示される：$ P_{j,k} \geq P_{j-1,k} + \frac{\rho}{j}(Pr(X_{j-1,k-1}) - Pr(X_{j-1,k})) $、ここで $ \rho $ はサンプリング効率を表す。
• 収束速度の分析は、離散近似系 $ \hat{P}_{j,1} = \hat{P}_{j-1,1} + (1 - \hat{P}_{j-1,1})\frac{\rho}{j} $ を用いて行われ、$ j \to \infty $ のとき $ \alpha_1 \to \rho $ となる。
• 収束ダイナミクスの対数表現に対してロピタルの定理とテイラー展開近似を用いて、理論的境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のリプシッツ連続力学的システムに対して、サンプリングベースの運動計画でステアリング関数なしに漸近的最適性を達成できるか？
• RQ2 制御空間サンプリングに基づく計画法の理論的収束速度は何か？ そして、システムパラメータにどのように依存するか？
• RQ3 非線形でアンダーアクチュエーテッド系において、配置空間サンプリングと比較して、直接的な制御空間サンプリングは最適性保証と計算実行可能性の面でどのように異なるか？
• RQ4 反復回数が増加する際に、近似的最適軌道に到達する確率が1に収束する条件は何か？
• RQ5 リプシッツ連続性の仮定のみを用いて、制御空間サンプリングアルゴリズムの収束性と最適性を統一的に理論的に枠組み化できるか？

主な発見

• リプシッツ連続な力学的システムに対して、制御空間を直接サンプリングすれば、ステアリング関数を必要とせず、確率1で漸近的最適性が達成される。
• 最初のマイルストーン（k=1）における収束速度は、反復回数が増加するにつれて $ \rho $、すなわちサンプリング効率パラメータに漸近的に近づく。
• 収束速度は理論的に境界づけられており、制御空間の次元とシステムダイナミクスのリプシッツ連続定数に依存する。
• 反復回数が増加するに従い、近似的最適軌道に到達する確率は単調に増加し、最適パスへの収束を保証する再帰的不等式に従う。
• 分析により、制御空間サンプリングは、複雑な力学的システムにおける配置空間サンプリングの代替として実用的かつ理論的に妥当であることが確認された。
• シミュレーション結果は理論的予測を支持しており、微分制約を伴う系において低コストで実行可能な軌道を生成する上で有望な性能を示している。