[論文レビュー] Analysis of constraints in light-cone version of SU(2) Yang-Mills mechanics

Vladimir P. Gerdt, A. Khvedelidze+1 more|ArXiv.org|Sep 13, 2002

Polynomial and algebraic computation参考文献 13被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、空間的に一様なゲージポテンシャルを仮定した SU(2) よくみん mechanics の光円錐形式を、コンピュータ代数（Maple）とディラック＝グローバー法を用いて、制約の計算と分類することにより分析している。8つの第一類制約と4つの第二類制約の混合系が得られ、物理的自由度は4に減少する。また、異なるゲージ構造と制約階層のため、光円錐モデルはインスタント形式とは正準的に同値でないことが示された。

ABSTRACT

We study the classical dynamics of mechanical model obtained from the light-cone version of SU(2) Yang-Mills field theory under the supposition of gauge potential dependence only on ``time'' along the light-cone direction. The computer algebra system Maple was used strongly to compute and separate the complete set of constraints. In contrast to the instant form of Yang-Mills mechanics the constraints here represent a mixed form of first and second-class constraints and reduce the number of the physical degrees of freedom up to four canonical one.

研究の動機と目的

• 空間的に一様な場を仮定した光円錐ゲージにおける SU(2) よくみん mechanics の一般化ハミルトニアン力学の研究。
• 光円錐形式における退化ハミルトニアン構造から生じる制約の完全な集合を計算・分類すること。
• ゲージ不変性と制約分類の観点から、光円錐モデルとよくみん形式の Yang-Mills mechanics の相違を比較すること。
• Mapleパッケージを用いてディラック＝グローバー法を実装・適用し、第一類および第二類制約を体系的に導出・分離すること。
• 物理的自由度および第一類制約によって生成されるゲージ群の代数的構造を特定すること。

提案手法

• ゲージポテンシャルが光円錐時間 $x^+$ のみに依存すると仮定し、光円錐 Yang-Mills ラグランジアンを定式化することで、有限次元の力学系に帰着する。
• 退化系に一般化ハミルトニアン形式を適用し、ヘッセ行列の消滅から一次的・二次的制約を導出する。
• Mapleを基盤とするディラック＝グローバー法を用いて、12個の代数的に独立な制約の完全集合を第一類・第二類に分離して計算する。
• 制約多様体上でのポアソン括弧行列を用いてランク（4）を決定し、制約を分類：8つの第一類、4つの第二類。
• 第一類制約のポアソン括弧を計算することでゲージ代数を構成し、多変数多項式除法および拡張グローバー基底技術を用いて構造定数を導出する。
• 多項式除法における剰余の消滅を確認し、必要に応じて拡張グローバー基底アルゴリズムを適用することで結果を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間的に一様な場を仮定した SU(2) よくみん mechanics の光円錐形式における制約の完全集合は何か？
• RQ2 光円錐モデルにおける第一類および第二類制約は、よくみん形式の Yang-Mills mechanics のそれらとどのように異なるか？
• RQ3 光円錐 SU(2) よくみん mechanics の物理的自由度はいくつか？
• RQ4 第一類制約によって生成されるゲージ代数の構造はどのようになっており、アルゴリズム的に計算可能か？
• RQ5 制約分類およびゲージ構造の相違を踏まえると、光円錐形式はインスタント形式と正準的に同値か？

主な発見

• 制約の完全集合は12個の代数的に独立な関係から成り立つ：6つの $\theta^{(1)}_a$、2つの $\theta_k$、6つの $\theta^{(2)}_a$、および4つの独立した $\theta^{b}_{k\bot}$。ただし、後者のうち2つの制約は従属である。
• 制約行列のランクは4であり、4つの第二類制約と8つの第一類制約を示しており、物理的自由度が4に減少することが判明した。
• 8つの第一類制約は $\varphi^{(1)}_a$、$\psi_k$、$\varphi^{(2)}_a$ として特定され、4つの独立した $\chi^{a}_{k\bot}$ の組み合わせが第二類集合を形成する。
• 第一類制約によって生成されるゲージ代数は閉じており、計算可能である：ポアソン括弧 $\{\phi_r, \phi_s\}$ は構造定数 $c^q_{rs}$ を得るが、これらは第一類制約に閉じている。
• 構造定数 $c^q_{rs}$ は多変数多項式除法を用いてアルゴリズム的に導出され、グローバー基底還元により検証された。除法アルゴリズムは正しく関係式 (38) から (41) を得ることに成功した。
• 光円錐モデルは、第一類・第二類制約の混合構造および異なるゲージ群実現のため、インスタント形式とは正準的に同値でない。