[論文レビュー] Analysis of Difficulty Control in Bitcoin and Proof-of-Work Blockchains

Daniel Fullmer, A. Stephen Morse|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2018

Blockchain Technology Applications and Security参考文献 5被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、ビットコインおよびプルーフ・オブ・ワークブロックチェーンにおけるブロック到着時刻の確率的モデルを提案し、以前のブロック時刻に依存する確率的変数として難易度を明示的にモデル化する。ブロック時刻の周辺分布がLomax分布であることを導出し、期待ブロック時刻が$ olimits\frac{\theta_n}{N-1}$で、分散が$ olimits\frac{\theta_n^2 N}{(N-1)^2(N-2)}$であることを示す。主な洞察として、ハッシュレートが一定であっても、リターゲティングルールのため、ブロック時刻は$N/(N-1)$の要因で速くなることである。

ABSTRACT

This paper presents a stochastic model for block arrival times based on the difficulty retargeting rule used in Bitcoin, as well as other proof-of-work blockchains. Unlike some previous work, this paper explicitly models the difficulty target as a random variable which is a function of the previous block arrival times and affecting the block times in the next retargeting period. An explicit marginal distribution is derived for the time between successive blocks (the blocktime), while allowing for randomly changing difficulty. This paper also aims to serve as an introduction to Bitcoin and proof-of-work blockchains for the controls community, focusing on the difficulty retargeting procedure used in Bitcoin.

研究の動機と目的

• ビットコインおよび類似のプルーフ・オブ・ワークブロックチェーンにおける動的難易度リターゲティングルールを考慮したブロック到着時刻の確率的モデルを開発すること。
• 過去のブロック到着時刻に依存する確率的変数として難易度ターゲットを明示的にモデル化し、システム内のフィードバックループを捉えること。
• この確率的モデル下でのブロック時刻の周辺分布、期待値、分散を導出すること。
• とりわけ難易度調整メカニズムに注目した、ブロックチェーンシステムの制御理論的分析の基盤を提供すること。
• 変動するネットワーク状態下でのモデルの正確性を検証するため、解析的結果とシミュレーションを比較すること。

提案手法

• ブロック到着時刻を、難易度リターゲティングルールによって以前のブロック時刻に依存する強度を持つ二重確率的ポアソン過程としてモデル化する。
• 難易度調整期間を$N=2016$ブロックと定義し、実際に経過した時間に基づいて毎$N$ブロックごとに難易度を更新する。
• 各リターゲティング期間内での平均ハッシュレート$\bar{\lambda}_n$を、$N$個の指数分布に従う到着間隔の和から得られるエラング分布でモデル化する。
• 各リターゲティング期間内でのブロック時刻$X_{(n-1)N+k}$（$n>1$）の周辺分布を、確率的レートパラメータをエラング分布から抽出した指数分布の複合化によって導出する。
• 複合分布理論を適用し、結果として得られる周辺分布が形状$N$、尺度$\theta_n = \frac{\delta_n}{\beta}$のLomax分布であることを示す。
• Lomax分布の性質を用いて、確率的難易度を考慮したブロック時刻の期待値と分散を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ビットコインの難易度リターゲティングルールは、ブロック到着時刻の統計的分布にどのように影響するか？
• RQ2 過去のブロック時刻に基づいて動的に調整される難易度下で、ブロック時刻の周辺分布はどのようなものか？
• RQ3 確率的難易度を仮定した場合、ブロック時刻の期待値と分散は、固定難易度モデルと比較してどのように変化するか？
• RQ4 リターゲティング期間$N$は、ブロック時刻の安定性と予測可能性にどのような影響を及ぼすか？
• RQ5 モデルの解析的予測は、シミュレートされたブロック到着パターンとどの程度一致するか？

主な発見

• $n>1$に対して、ブロック時刻$X_{(n-1)N+k}$の周辺分布は、形状$N$、尺度$\theta_n = \frac{\delta_n}{\beta}$のLomax分布である。これは、確率的レートをエラング分布から抽出した指数分布の複合化から導出される。
• 期待ブロック時刻は$\mathbb{E}[X_{(n-1)N+k}] = \frac{\theta_n}{N-1} = \frac{N}{(N-1)\delta_n}\beta$であり、ハッシュレートが一定であっても、目標値$\beta$より$\frac{N}{N-1}$の要因で大きくなる。
• ブロック時刻の分散は$\mathrm{Var}[X_{(n-1)N+k}] = \frac{\theta_n^2 N}{(N-1)^2(N-2)} = \frac{N^3}{(N-1)^2(N-2)\delta_n^2}\beta^2$であり、$N=2$ではLomax分布の無限大分散のため発散する。
• ビットコインで用いられる$N=2016$の場合、期待ブロック時刻は$\beta$に非常に近くなり、$\frac{N}{N-1} \approx 1.000496$であるため、高い安定性を示す。
• シミュレーションにより、$N=2$のような小さな$N$では、難易度調整アルゴリズムの性能が著しく劣り、分散が無限大となりブロック時刻が激しく変動することが確認された。
• モデルは、標準的なビットコインのリターゲティングルールが、ハッシュレートが一定であっても、難易度更新プロセスの確率的性質に起因して、ブロック時刻に固有の統計的ばらつきを内在させることを明らかにした。