[論文レビュー] Analysis of energetic models for rate-independent materials

Alexander Mielke|arXiv (Cornell University)|May 1, 2003

Shape Memory Alloy Transformations参考文献 12被引用数 24

ひとこと要約

本稿は、エネルギー貯蔵関数および散逸関数に基づくエネルギー的モデルを用いて、率に依存しない材料の抽象的存在理論を構築する。時間離散化による最小化により解を確立し、強制性およびコンパクト性の条件下で存在を証明し、形状記憶合金、接着剥がれ、非凸散逸構造を有する有限ひずみ塑性の応用にこの枠組みを適用する。

ABSTRACT

We consider rate-independent models which are defined via two functionals: the time-dependent energy-storage functional $\calI:[0,T] i X o [0,\infty]$ and the dissipation distance $\calD:X i X o[0,\infty]$. A function $z:[0,T] o X$ is called a solution of the {energetic model}, if for all $0\leq s

研究の動機と目的

• 率に依存する系の解に関する一般的存在理論を確立すること。
• 複雑な内部変数を有する材料における非凸的かつ非滑らかである散逸の課題に対処すること。
• 相転移、損傷、塑性を含む多様な材料挙動に適用可能な統一的枠組みを提供すること。
• バナッハ空間におけるコンパクト性および強制性を活用して、弱い正則性仮定のもとで解の存在を保証すること。
• 微分可能または凸でない設定にまでエネルギー的モデルの適用範囲を拡張し、複雑な連続体力学問題への応用を可能にすること。

提案手法

• 微分包含の代わりに、グローバル安定性（S）およびエネルギー不等式（E）による率に依存しない時間発展を定式化する。
• 時間領域を離散化し、各ステップで $\mathcal{I}(t_k, z) + \mathcal{D}(z_{k-1}, z)$ の最小化問題を解く。
• 散逸距離 $\mathcal{D}$ を用いて解の経路の有界 variation（BV）バインディングを確立する。
• コンパクト埋め込み $Y \subset X$ における強制性 $\mathcal{I}(t,z) \geq c_1\|z\|_Y^\alpha - C_1$ を用いてコンパクト性を確立する。
• 抽象理論を3つの物理的応用に適用する：形状記憶合金、接着剥がれ、有限ひずみ塑性。
• 剥がれのモデルでは、$\mathcal{D}(z_0,z_1) = c_D \int_\Gamma (z_0 - z_1)^+ \, da$ を定義し、不可逆的接着破壊をモデル化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微分可能性や凸性を要件としない一般の存在理論を、率に依存する系に対して構築可能か？
• RQ2 塑性や破壊における非凸的・非滑らか散逸を有する系に対して、解をどのように構成できるか？
• RQ3 無限次元空間における時間離散化解のコンパクト性および収束性を保証する条件は何か？
• RQ4 内部変数（相状態、損傷、塑性変形など）を有する材料に、エネルギー的定式化をどのように適用できるか？
• RQ5 内部変数空間の幾何構造（例：塑性におけるリー群）が解の存在性および構造に果たす役割は何か？

主な発見

• エネルギー関数が非凸的または非微分可能であっても、強制性およびコンパクト埋め込みの仮定のもとで、エネルギー的モデルの解が存在することが示された。
• 時間離散化による段階的最小化スキームにより、解の経路の全 variation が散逸関数により制御されることを示した。
• 接着剥がれのケースでは、エネルギー関数 $\mathcal{I}(t,z)$ は $L^1(\Gamma)$ 上で s-弱連続であるため、定理3.3により存在が保証された。
• 有限ひずみ塑性では、散逸距離が $\mathrm{SL}(d)$ 上で左不変であるため、対数的挙動と強い幾何的非凸性が生じた。
• 還元エネルギー密度 $\Psi^{\mathrm{red}}$ が擬凸でない場合には、段階的最小化問題における最小値の到達が不可能になる可能性があり、その場合、緩和技術が必要となる。
• 本枠組みは、相インジケータ変数を用いた形状記憶合金や、リー群上の内部変数を有する弾塑性に適用可能であり、広範な適用可能性を示した。