[論文レビュー] Analysis of entropy of XY Spin Chain

Fabio Franchini, A. R. Its+2 more|ArXiv.org|Jun 29, 2006

Quantum many-body systems被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、無限大のXYスピン鎖の基底状態における隣接スピンのブロックのフォン・ノイマンエントロピーを、ブロックサイズLが非常に大きくても有限な二重スケーリング極限において分析している。エントロピーの正確な式が楕円積分および異方性パラメータと磁場パラメータの関数として導出されており、エントロピーが積状態で最小値をとり、量子相転移において発散することを示している。

ABSTRACT

Entanglement in the ground state of the XY model on the infinite chain can be measured by the von Neumann entropy of a block of neighboring spins. We study a double scaling limit: the size of the block is much larger then 1 but much smaller then the length of the whole chain. In this limit, the entropy of the block approaches a constant. The limiting entropy is a function of the anisotropy and of the magnetic field. The entropy reaches minima at product states and increases boundlessly at phase transitions.

研究の動機と目的

• 無限大のXYスピン鎖の基底状態における量子もつれを、フォン・ノイマンエントロピーを指標として理解すること。
• 系サイズに対して非常に大きくても有限なブロックサイズLにおけるブロックエントロピーの振る舞いを二重スケーリング極限で分析すること。
• 極限エントロピーが異方性パラメータγおよび磁場hにどのように依存するかを特定すること。
• 特に量子相転移においてエントロピーが特異的になる臨界点を同定すること。
• XYモデルの異なる相において、エントロピーの正確な解析的表現を提供すること。

提案手法

• スピンブロックのフォン・ノイマンエントロピーを、残りの鎖とのもつれの指標として用いる。
• トーペリッツ行列式理論および可解なフレドホルム作用素の結果を応用してエントロピーを計算する。
• 行列式表現から得られる固有値λₘ = tanh[(m + (1−σ)/2)πτ₀] を用いる。ここでσ = 1はケース1、σ = 0はケース2に対応する。
• 収束級数としてエントロピーを表す：S(ρₐ) = Σₘ₌₋∞^∞ (1 + λₘ) ln[2 / (1 + λₘ)]。
• 完全楕円積分I(k)およびモジュラスτ₀ = I(k′)/I(k)（ただしk′ = √(1−k²)）を用いて、級数を閉形式で評価する。
• 既知の和公式を用いて、三つのケース（ケース1a：中程度のh、ケース1b：弱いh、h=0を含む、ケース2：強いh）におけるエントロピーの正確な解析的表現を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限大XY鎖の熱力学的極限におけるスピンブロックのもつれエントロピーはどのように振る舞うか？
• RQ2 極限エントロピーが異方性パラメータγおよび磁場hにどのように依存するか？
• RQ3 エントロピーの極小値および特異点はどこに現れ、それらに対応する物理的状態は何か？
• RQ4 XYモデルの異なる相の境界におけるエントロピーの振る舞いはいかなるものか？
• RQ5 楕円積分などの特殊関数を用いてエントロピーを閉形式で表現できるか？

主な発見

• 二重スケーリング極限において、極限エントロピーは定数に近づき、その値はγおよびhに連続的に依存する。
• h = 2√(1−γ²) において、S = ln 2 の局所的最小値が達成され、これは二重に縮退した基底状態（2）および積状態に対応する。
• h → ∞ の極限において、絶対的最小エントロピー0が達成され、基底状態は完全に偏極（強磁性）状態になる。
• 量子相転移点h = 2においてエントロピーは+∞に発散し、臨界的挙動を示す。
• ケース1aおよびケース1bにおいて、S(ρₐ) = (1/6)[ln(k²/(16k′)) + (1−k²/2)(4I(k)I(k′)/π)] + ln 2 が成り立ち、kはhおよびγによって定義される。
• ケース2において、S(ρₐ) = (1/12)[ln(16/(k²k′²)) + (k²−k′²)(4I(k)I(k′)/π)] が成り立ち、強磁場領域における特徴的な挙動を示す。