[論文レビュー] Analysis of fluid flow models

Guy Latouche, Giang D. Nguyen|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2018

Simulation Techniques and Applications被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、再生過程とリカチ方程式を活用して、特に制御されたフローフローモデルを包括的に分析する行列解析的手法を提示する。定常分布は、2次収束性を示す倍加アルゴリズムを用いて効率的に計算可能であり、有限バッファ、レベル依存フィードバック、ジャンプ、2次元フローなどの一般化モデルへとフレームワークを拡張している。

ABSTRACT

Markov-modulated fluids have a long history. They form a simple class of Markov additive processes, and were initially developed in the 1950s as models for dams and reservoirs, before gaining much popularity in the 1980s as models for buffers in telecommunication systems, when they became known as fluid queues. More recent applications are in risk theory and in environmental studies. In telecommunication systems modelling, the attention focuses on determining the stationary distribution of the buffer content. Early ODE resolution techniques have progressively given way to approaches grounded in the analysis of the physical evolution of the system, and one only needs now to solve a Riccati equation in order to obtain several quantities of interest. To the early algorithms proposed in the Applied Probability literature, numerical analysts have added new algorithms, improved in terms of convergence speed, numerical accuracy, and domain of applicability. We give here a high-level presentation of the matrix-analytic approach to the analysis of fluid queues, briefly address computational issues, and conclude by indicating how this has been extended to more general processes.

研究の動機と目的

• 半再生過程と行列解析的手法を用いて、制御されたフローフローの分析を統一的フレームワークで行う。
• ゼロで吸収されるフローフローの定常分布を、フェーズ依存のフローレートと関連づけて特徴づける。
• 有限バッファ、レベル依存フェーズ遷移、ジャンプ、2次元フローを含む一般化されたフローモデルへの分析を拡張する。
• 特に2次収束性を示す倍加アルゴリズムを用いて、基礎となるリカチ方程式を解くための効率的な数値アルゴリズムを提示する。
• 応用確率および確率的モデリング分野における理論的フローフロー解析と実用的計算実装の橋渡しを行う。

提案手法

• バッファが空（Y(t) = 0）かつフェーズがS⁻にある再生時刻を用いて、フローフローをモデル化する半再生過程を用いる。
• 定常分布を、定常ベクトルρと期待滞在時間行列M(x)を含む混合形として導出する。これによりG(x) = (ρᵀm)⁻¹ρᵀM(x)が得られる。
• 行列の符号反復とリカチ方程式の手法を用いて、e^{Kx}およびe^{K̂(B−x)}の形で定常密度を支配する行列Ψを求める。
• 構造を保全する倍加アルゴリズム（SDA、SDA スリム・シフト、成分別精度保証型変種）を用いて、高速かつ安定かつ2次収束性を持つ解を得る。
• 境界間の最初到達確率を組み込むことで、有限バッファへの拡張を実現し、2つの行列指数関数の混合形として定常密度が得られる。
• ジャンプ（例：Phase-type分布に従うジャンプサイズ）を含むモデルや、マコフ連続状態変動ブラウン運動に対しても、同様の再生的およびスペクトル的手法を適応する。

Figure 1: Sample trajectory of a fluid flow (top) and of its controlling Markov chain (bottom). The fluid rates vector is $\boldsymbol{c}=[-0.8,-1.4,2,1]$ so that different states correspond to different slopes.

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半再生過程を用いて、制御されたフローフローの定常分布をどのように特徴づけられるか？
• RQ2 リカチ方程式と行列の符号反復は、フローフローの定常密度を計算する際に果たす役割は何か？
• RQ3 倍加アルゴリズムは、収束速度と精度の観点から、フローフロー・モデルの数値的解法をどのように改善するか？
• RQ4 フローフローのフレームワークは、どのようにして有限バッファ、レベル依存フェーズ遷移、ジャンプ過程を含めるか？
• RQ5 2次元または高次元系へのフローフローの一般化は、理論的および計算的側面でどのような意味を持つのか？

主な発見

• 制御されたフローフローの定常分布は、G(x) = (ρᵀm)⁻¹ρᵀM(x)として与えられ、ここでM(x)は[0,x]×{j}における条件付き期待滞在時間を捉えている。
• リカチ方程式Ψ = |C⁻|⁻¹T⁻⁺Ψ + Ψ|C⁻|⁻¹T⁻⁺Ψを解く行列Ψは、μ ≠ 0の条件下で2次収束する。
• SDAおよびその変種である倍加アルゴリズムは2次収束性を示し、計算的にも効率的であり、フローフロー・モデルの堅牢な数値的解法を可能にする。
• 有限バッファを有するフローフローでは、定常密度が2つの行列指数関数e^{Kx}およびe^{K̂(B−x)}の混合形として得られ、境界間の最初到達確率から導出される。
• ジャンプを伴うモデル（例：リークバケツ、リプレースメントプロセス）は、ジャンプサイズがフェーズ型分布に従う場合、フレームワークが自然に一般化可能である。
• 2次元フローモデルは、理論的および計算的課題が著しく残る未解決分野であるが、マコフ加法的過程を用いた初期の拡張が存在する。

Figure 2: Sample trajectory of a regulated fluid flow