[論文レビュー] Analysis of Fully Discrete Mixed Finite Element Methods for Time-dependent Stochastic Stokes Equations with Multiplicative Noise

Xiaobing Feng, Hailong Qiu|arXiv (Cornell University)|May 8, 2019

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ひとこと要約

本稿では、乗法的ノイズを伴う時間依存確率的ストークス方程式に対して、完全離散型混合有限要素法を提案する。時間離散化にはEuler–Maruyamaスキーム、空間離散化にはTaylor–Hood要素を用いる。速度および圧力の近似に関して、最適な収束率を示す強収束を確立し、時間平均的意味での圧力の低正則性に対処するため、新たな確率的inf-sup条件を導入する。数値実験により、期待される収束率が得られることを検証した。

ABSTRACT

This paper is concerned with fully discrete mixed finite element approximations of the time-dependent stochastic Stokes equations with multiplicative noise. A prototypical method, which comprises of the Euler-Maruyama scheme for time discretization and the Taylor-Hood mixed element for spatial discretization is studied in detail. Strong convergence with rates is established not only for the velocity approximation but also for the pressure approximation (in a time-averaged fashion). A stochastic inf-sup condition is established and used in a nonstandard way to obtain the error estimate for the pressure approximation in the time-averaged fashion. Numerical results are also provided to validate the theoretical results and to gauge the performance of the proposed fully discrete mixed finite methods.

研究の動機と目的

• 時間依存確率的ストークス方程式に乗法的ノイズを伴う完全離散型混合有限要素法の開発および分析を行う。
• 低正則性の条件下で、速度および圧力の近似に関して強収束と収束率を確立する。
• 標準的なinf-sup条件が失敗する状況において、圧力過程の低正則性に対処するため、非標準的な方法で確率的inf-sup条件を導入・適用する。
• 収束率およびサンプル挙動に関する数値実験を通じて、理論的結果を検証する。

提案手法

• 時間離散化には、乗法的ノイズを伴う確率的ストークス系に対してEuler–Maruyamaスキームを用いる。
• 空間離散化には、速度と圧力にそれぞれQ2–P1またはQ2–Q1のTaylor–Hood混合有限要素ペアを用いる。
• 圧力の近似のため、低正則性の問題を軽減するために時間平均誤差ノルムを用いる。
• 非標準的な方法で適用される確率的inf-sup条件を導出し、圧力誤差を抑えられるようにする。
• 時間微分可能性を仮定しないで、解の確率的性質（伊藤積分およびウィーナー過程）を分析に組み込む。
• 数値実験では、モンテカルロサンプリングと人工圧縮性ソルバーを用いて解を計算し、収束性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 乗法的ノイズを伴う確率的ストークス方程式に対する完全離散型混合有限要素スキームにおいて、速度および圧力の近似に関して最適な強収束率を確立できるか？
• RQ2 標準的なinf-sup条件が失敗する状況において、誤差解析で圧力過程の低正則性をどのように扱えるか？
• RQ3 時間刻み幅が乗法的ノイズの存在下で、速度および圧力の近似の収束挙動に与える影響は何か？
• RQ4 提案手法は、圧縮性や流れのパターンといった期待される物理的挙動を、サンプル実現においても保持しているか？

主な発見

• 速度近似に関して、時間方向で半次の収束率が得られ、理論的予測と一致する。
• 圧力近似は、時間平均的$L^2$ノルムにおいて半次の収束率を示し、数値的に検証された。
• 数値結果から、時間平均をとらない$L^2$ノルムにおける圧力近似誤差は、圧力過程の低正則性に起因してゆっくり収束することが確認された。
• 誤差バインディングは$k^{-1/2}$に逆比例し、数値的テストによりこの依存関係が確認され、$k$が小さくなるほど誤差が増加することが示された。
• $k \approx h$の場合、速度および圧力の両方で$O(k^{1/2})$の収束率が達成され、理論的境界と一致した。
• 速度および圧力のサンプル実現は、決定的解とは顕著に異なる変動を示したが、期待値は安定的かつ物理的に妥当な流れのパターンを示した。