[論文レビュー] Analysis of interior penalty discontinuous Galerkin methods for the Allen-Cahn equation and the mean curvature flow

Xiaobing Feng, Yukun Li|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2013

Solidification and crystal growth phenomena参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、アレン-チャン方程式およびその鋭い界面極限である平均曲率流れのための、完全離散化された内部ペナルティ不連続ガラーキン（IP-DG）法を提案し、分析する。非標準的な誤差解析技術を用い、離散スペクトル推定に基づく洗練された手法を導入することで、著者らは $ε^{-1}$ に依存する誤差境界を指数的ではなく多項式的（多項式的依存）に得た。これにより、零レベル集合が平均曲率流れに収束することが可能になった。

ABSTRACT

This paper develops and analyzes two fully discrete interior penalty discontinuous Galerkin (IP-DG) methods for the Allen-Cahn equation, which is a nonlinear singular perturbation of the heat equation and originally arises from phase transition of binary alloys in materials science, and its sharp interface limit (the mean curvature flow) as the perturbation parameter tends to zero. Both fully implicit and energy-splitting time-stepping schemes are proposed. The primary goal of the paper is to derive sharp error bounds which depend on the reciprocal of the perturbation parameter $ε$ (also called "interaction length") only in some lower polynomial order, instead of exponential order, for the proposed IP-DG methods. The derivation is based on a refinement of the nonstandard error analysis technique first introduced in [12]. The centerpiece of this new technique is to establish a spectrum estimate result in totally discontinuous DG finite element spaces with a help of a similar spectrum estimate result in the conforming finite element spaces which was established in [12]. As a nontrivial application of the sharp error estimates, they are used to establish convergence and the rates of convergence of the zero level sets of the fully discrete IP-DG solutions to the classical and generalized mean curvature flow. Numerical experiment results are also presented to gauge the theoretical results and the performance of the proposed fully discrete IP-DG methods.

研究の動機と目的

• 特異摂動領域においても安定性と精度を保つ完全離散IP-DGスキームを、アレン-チャン方程式に対して開発すること。
• $\epsilon^{-1}$ に指数的依存を避けることにより、$\epsilon$ が小さい場合に収束解析が崩れることを回避する、$\epsilon^{-1}$ にのみ多項式的依存する誤差推定を導出すること。
• $\epsilon \to 0$ のとき、離散解の零レベル集合が平均曲率流れに収束すること、およびその収束速度を確立すること。
• 移動界面問題における拡散界面法の理論的基盤を、DG離散化を用いて構築すること。

提案手法

• 内部ペナルティ安定化を用いた、完全 implicitly なスキームとエネルギー分割時間積分を用いたスキームの2通りの完全離散IP-DGスキームを定式化する。
• 不連続ガラーキン空間における離散スペクトル推定に基づく洗練された非標準的誤差解析技術を適用する。
• 従来の有限要素空間におけるスペクトル推定結果（[12] より）を不連続ガラーキン設定に適応し、$\epsilon^{-1}$ 依存を制御する。
• 離散エネルギー減少性 $J^{h}_{\epsilon}(u_{h}^{\ell})$ を用いて、数値的安定性および一貫性を検証する。
• 零レベル集合 $\Gamma_t^\epsilon$ の時間発展を追跡するためのレベルセット追跡戦略を採用し、平均曲率流れと比較する。
• 初期データとして $\tanh(d_0(x)/\sqrt{2}\epsilon)$ を構築することで、拡散界面プロファイルに一致させる数値実験を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 IP-DG法は、アレン-チャン方程式に対して、$\epsilon^{-1}$ に指数的依存ではなく多項式的依存の誤差境界を達成できるか？
• RQ2 零レベル集合が $\epsilon \to 0$ のとき、平均曲率流れに収束するか？
• RQ3 離散スペクトル推定に基づく提案手法の誤差解析技術は、従来の連続有限要素空間から不連続ガラーキン有限要素空間へ拡張可能か？
• RQ4 零レベル集合が平均曲率流れに収束する速度は何か？また、$\epsilon$ にどのように依存するか？
• RQ5 完全 implicitly なスキームとエネルギー分割時間積分スキームは、エネルギー減少性と精度を保つ点でどのように比較できるか？

主な発見

• 提案されたIP-DG法は、線形要素を用いた場合、$L^\infty(L^2)$ および $L^2(H^1)$ の両ノルムで最適な $h$-収束率を達成し、観測された収束次数はそれぞれ約2および1であった。
• 数値結果により、離散エネルギー $J^{h}_{\epsilon}(u_{h}^{\ell})$ が時間とともに単調に減少することが確認され、理論的予測と整合的であった。
• $\epsilon \to 0$ のとき、数値解の零レベル集合が平均曲率流れに収束することが示された。時間ステップのスナップショットから、$\epsilon$ が大きいほど界面の進化が速くなる傾向が確認された。
• 誤差推定は $\epsilon^{-1}$ にのみ多項式的依存するため、界面運動の厳密な収束解析が可能となった。これは最適であり、理論的整合性を示している。
• 本手法は、曲率駆動運動を伴う複雑な界面ダイナミクス、例えば曲がった曲線や表面の進化を、非凸領域でさえも的確に捉えることができた。
• 数値実験における収束速度は理論的予測と一致し、導出された誤差境界の鋭さが検証された。