[論文レビュー] Analysis of Logarithmic Amortised Complexity

Martin Hofmann, Georg Moser|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2018

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ポテンシャルベースのリソース解析を用いて、対数的アモアタイズド複雑度の自動化可能な型システムを初めて提示する。これにより、関数型プログラムにおける対数的実行時間境界の正確な導出が可能になる。この型システムは、対数的項を含む制約系を用いて、スplay木におけるスプライシングの解析を形式化し、Farkasの補題を活用して有効なポテンシャル関数の自動推論を実現する。

ABSTRACT

We introduce a novel amortised resource analysis based on a potential-based type system. This type system gives rise to logarithmic and polynomial bounds on the runtime complexity and is the first such system to exhibit logarithmic amortised complexity. We relate the thus obtained automatable amortised resource analysis to manual amortised analyses of self-adjusting data structures, like splay trees, that can be found in the literature.

研究の動機と目的

• 関数型プログラムにおける対数的複雑度境界を自動的に導出できる、型ベースのアモアタイズドリソース解析システムの開発。
• ポテンシャル型システムを用いて、スプレイ木におけるスプライシングのアモアタイズドコストを形式化すること。
• 対数的項を含む線形不等式系への、対数的境界の検証を還元すること。
• 未知係数を含むアンサッツと制約解決を用いて、対数的複雑度解析の自動化を実現すること。
• 既存の自動プログラム解析ツールへの対数的アモアタイズド解析の統合基盤を提供すること。

提案手法

• リソース注釈に木のサイズの対数的項を含むポテンシャルベースの型システムを採用する。
• 対数的境界の検証問題を、対数的および線形表現を含む線形不等式系の妥当性の確認に還元する。
• 必要な制約を満たすポテンシャル関数を構築するために、未知係数を含むアンサッツを用いる。
• 対数関数の単調性や代数的恒等式といった専門的知識を、$ A\vec{x} \leqslant \vec{b} $ の形の不等式としてエンコードする。
• Farkasの補題を適用して、含意 $ \forall\vec{x} \, A\vec{x} \leqslant \vec{b} \Rightarrow CY\vec{x} \leqslant \vec{d} $ を、解ける存在制約 $ \exists F \geqslant 0 \land U \leqslant FA \land F\vec{b} \leqslant \vec{v} $ に変換する。
• 本手法はパラメトリックであり、他の非線形境界に対しても一般化可能であり、ビッグステップ意味論による終了性の仮定を採用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数型プログラムにおける対数的アモアタイズド複雑度境界を自動的に導出できる型システムを設計できるか？
• RQ2 対数的境界のためのポテンシャル関数をどのようにアルゴリズム的に構築・検証できるか？
• RQ3 スプレイ木における対数的境界が型推論によって導出可能であることを保証するのに必要な・十分な制約は何か？
• RQ4 対数的境界の推論を、対数的項を含む線形不等式系への還元できるか？
• RQ5 対数関数に関する専門的知識（例：単調性）を自動推論に統合するには、どのようにエンコードすればよいか？

主な発見

• 提案された型システムは、スプレイ木におけるスプライシングの既知の対数的アモアタイズドコストを正しく導出でき、解析の正しさを確認した。
• 対数的境界の検証が、対数的および線形項を含む制約充足問題に還元された。
• Farkasの補題の使用により、不等式系に対する存在制約を用いてポテンシャル関数係数の自動推論が可能になった。
• 本手法は、型ベースの枠組みにおいて、対数的複雑度に対する完全な自動アモアタイズド解析を達成した最初のものである。
• 本アプローチは、他の自己調整データ構造や非線形境界に対しても一般化可能であり、ツール統合への明確な道筋が示された。
• 本システムはビッグステップ意味論による終了性を仮定しているが、スモールステップまたは部分的意味論を代替として使用可能である。