[論文レビュー] Analysis of Lyapunov Control for Hamiltonian Quantum Systems

Xiaoting Wang, Sonia G. Schirmer|ArXiv.org|May 19, 2008

Quantum Information and Cryptography参考文献 18被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、ラサラの不変性原理を用いて、双線形ハミルトニアン量子系におけるラプラウン制御の厳密な解析を提供し、この手法が極めて厳しい条件のもとでのみ有効であることを明らかにした。具体的には、自由ハミルトニアン $ H_0 $ が強く正則であり、制御ハミルトニアン $ H_1 $ が完全に接続されている場合に限る。実際の物理系ではこれらの条件が緩和されるため、中心多様体の出現により、目標状態への収束が妨げられ、この手法は失敗する。

ABSTRACT

We present detailed analysis of the convergence properties and effectiveness of Lyapunov control design for bilinear Hamiltonian quantum systems based on the application of LaSalle's invariance principle and stability analysis from dynamical systems and control theory. For a certain class of Hamiltonians, strong convergence results can be obtained for both pure and mixed state systems. The control Hamiltonians for realistic physical systems, however, generally do not fall in this class. It is shown that the effectiveness of Lyapunov control design in this case is significantly diminished.

研究の動機と目的

• 動的システム理論を用いて、双線形量子系におけるラプラウン制御の収束特性を厳密に分析すること。
• ラプラウン制御が目標量子状態への収束を保証するための必要十分条件を特定すること。
• 時間依存の目標状態にラサラの不変性原理を適用する際の先行研究における矛盾を解消すること。
• 系のハミルトニアン（$ H_0 $ および $ H_1 $）がラプラウン制御の安定性と有効性に与える影響を調査すること。
• 理想条件を満たさない現実的量子系におけるラプラウン制御の実用的限界を評価すること。

提案手法

• 密度演算子 $ \rho(t) $ に対するリウヴィル＝フォンノイマン方程式 $ \dot{\rho} = -i[H_0 + f(t)H_1, \rho] $ を用いて量子制御問題を定式化する。
• 非負で、$ \rho = \rho_d $ のみでゼロとなるラプラウン関数 $ V(\rho, \rho_d) = \frac{1}{2}\operatorname{Tr}((\rho - \rho_d)^2) $ を定義する。
• 時間依存の目標状態 $ \rho_d(t) $ を含む拡張された自己同次系にラサラの不変性原理を適用し、$ \dot{\rho}_d = -i[H_0, \rho_d] $ を満たす。
• 動的システムの不変集合 $ E $ を解析し、軌道が $ \rho_d(t) $ に収束するかどうかを特定する。特に、臨界点および中心多様体の構造に注目する。
• 中心多様体理論を用いて、$ H_0 $ が強く正則でない、または $ H_1 $ が完全に接続されていない場合、不変集合 $ E $ に $ \rho_d(t) $ の周囲の中心多様体が存在し、収束が妨げられることを示す。
• 理想条件（強く正則な $ H_0 $、完全に接続された $ H_1 $）と現実的偏差との間で、明示的な行列例を用いてシステムの挙動を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ H_0 $ および $ H_1 $ がどのような条件下で、時間依存の目標状態 $ \rho_d(t) $ へのラプラウン制御による収束が保証されるか。
• RQ2 時間依存の目標状態にラサラの不変性原理を適用することは妥当か。そのために必要な仮定は何か。
• RQ3 理想条件（$ H_0 $ の強く正則であること、$ H_1 $ の完全な接続性）が緩和された場合、不変集合 $ E $ はどのように変化するか。
• RQ4 理想化された仮定のもとでは機能するが、現実的量子系ではなぜラプラウン制御が失敗するのか。
• RQ5 中心多様体理論は、非理想状態におけるラプラウン制御の失敗を説明できるか。その結果、実用的制御設計にどのような示唆が得られるか。

主な発見

• ラプラウン制御は、$ H_0 $ が強く正則であり、$ H_1 $ が完全に接続されている場合にのみ有効であり、この条件が成り立つと、目標状態 $ \rho_d(t) $ が不変集合内で唯一の双曲的吸引点となる。
• $ H_0 $ が強く正則でない、または $ H_1 $ が完全に接続されていない場合、不変集合 $ E $ は $ \rho_d(t) $ の周囲に中心多様体へと拡張され、多くの軌道が多様体上での周期的軌道に収束するが、$ \rho_d(t) $ には収束しない。
• 中心多様体の出現により、大多数の現実的物理系ではラプラウン制御は実用的に無効であると判明し、目標状態への収束が保証されない。
• 一般的な定常目標状態に対しても、ラプラウン関数の不安定な臨界点には正の次元の吸引多様体が存在し、収束ダイナミクスが複雑化する。
• 理想状態では、不変集合に臨界点以外の点を含まない目標状態の集合は測度ゼロであるが、ハミルトニアン条件が緩和されるとこの性質は成り立たない。
• 非理想状態におけるラプラウン制御の失敗は、目標状態の不安定性に起因するのではなく、不変集合の位相的構造、特に非自明な中心多様体の存在に起因する。