[論文レビュー] Analysis of Petri Net Models through Stochastic Differential Equations

Marco Beccuti, Enrico Bibbona+4 more|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2014

Petri Nets in System Modeling参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、特に分散が非可視的または多峰的分布を示す場合に、母集団レベルの分布的挙動を完全に捉えるために、確率的Petriネット（SPN）のジャンプ・ドリフト確率微分方程式（SDE）近似を提案する。境界反射をジャンプ機構で扱うことで、カーツの拡散近似を拡張し、状態空間が有界で母集団サイズが中程度のモデルにおいて、ODEベースの近似や離散イベントシミュレーションに比べてより正確かつ高速な解析を実現する。

ABSTRACT

It is well known, mainly because of the work of Kurtz, that density dependent Markov chains can be approximated by sets of ordinary differential equations (ODEs) when their indexing parameter grows very large. This approximation cannot capture the stochastic nature of the process and, consequently, it can provide an erroneous view of the behavior of the Markov chain if the indexing parameter is not sufficiently high. Important phenomena that cannot be revealed include non-negligible variance and bi-modal population distributions. A less-known approximation proposed by Kurtz applies stochastic differential equations (SDEs) and provides information about the stochastic nature of the process. In this paper we apply and extend this diffusion approximation to study stochastic Petri nets. We identify a class of nets whose underlying stochastic process is a density dependent Markov chain whose indexing parameter is a multiplicative constant which identifies the population level expressed by the initial marking and we provide means to automatically construct the associated set of SDEs. Since the diffusion approximation of Kurtz considers the process only up to the time when it first exits an open interval, we extend the approximation by a machinery that mimics the behavior of the Markov chain at the boundary and allows thus to apply the approach to a wider set of problems. The resulting process is of the jump-diffusion type. We illustrate by examples that the jump-diffusion approximation which extends to bounded domains can be much more informative than that based on ODEs as it can provide accurate quantity distributions even when they are multi-modal and even for relatively small population levels. Moreover, we show that the method is faster than simulating the original Markov chain.

研究の動機と目的

• 母集団サイズが小さいか、分布が多峰的である場合に、決定論的ODE近似がSPNで示す限界を克服すること。
• 元来開けた領域からの最初の抜出自体にのみ有効であったカーツの拡散近似を、現実のSPNモデルで一般的な境界の繰り返し訪問に対応できるように拡張すること。
• 分布的詳細（分散や多峰性など）を保持しつつ、計算効率の高い離散イベントシミュレーションの代替手段を提供すること。
• 状態空間が有界で大規模な母集団ダイナミクスを示すSPNの正確で高速かつメモリ効率の良い解析を可能にすること。

提案手法

• 密度依存性を持つCTMCを有するSPNのクラスを特定し、母集団レベルのインデックスパラメータを導入する。
• カーツの拡散近似を適用して、母集団レベルの確率的変動をモデル化するSDEの連立を導出する。
• 境界に到達した後、内部に戻るのを模倣するジャンプをSDE近似に追加する。
• プロセスが境界に到達または停留する場合に正確性を維持するため、境界遷移を離散イベントシミュレーションで処理する。
• 遷移率から導かれるドリフトおよび拡散係数を含め、SPNモデルから関連するSDE系を自動的に構築する。
• SDE統合と境界でのオンデマンド離散イベントステップを組み合わせたハイブリッドシミュレーション手法を実装し、ジャンプ・ドリフト挙動をモデル化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実際のシステムで一般的な繰り返しの境界訪問を扱えるように、SPNの拡散近似を拡張できるか？
• RQ2 提案されたジャンプ・ドリフトSDE近似は、非正規分布や多峰的分布において、ODEベースの近似に比べてより正確な分布的情報を提供するか？
• RQ3 SDEベースの手法の計算パフォーマンスは、実行速度とメモリ使用量の観点から離散イベントシミュレーションに比べてどうか？
• RQ4 中程度の母集団サイズであっても、SDEアプローチが複雑な確率分布（多峰的分布など）の形状をどの程度正確に保持できるか？

主な発見

• ジャンプ・ドリフトSDE近似は、SIRモデルやクライアント・サーバー・モデルのような複雑な多峰的確率分布を、母集団サイズが小さい場合でも、シミュレーション結果と密接に再現する。
• 初期感染個体数200のSIRモデルにおいて、SDE法はT=100における感染個体数の期待値を27秒、1MBのメモリで計算した。一方、離散イベントシミュレーションでは600秒、162MBを要した。
• クライアント・サーバー・モデルでは、SDE法が約13倍の高速化を達成し、計算時間を約13分から約1分に短縮した。同時に、分布のモードを保持したままであった。
• 母集団数200,000のSIRモデルにおいて、SDE法はメモリ使用量を約162MBから約1MB、実行時間を約600秒から約28秒に削減し、顕著なスケーラビリティを示した。
• クライアント・サーバー・モデルにおけるCwaiting場所の分布において、SDE法は離散イベントシミュレーションで観察された多峰的形状の3つの明確なモードを正確に捉えた。
• 分散や分布形状が重要な状況では、平均だけでは意味のある情報を伝えられない多峰的状況において、ODEベースの近似を上回る性能を示した。