[論文レビュー] Analysis of Schrödinger operators with inverse square potentials I: regularity results in 3D

Eugénie Hunsicker, Hengguang Li+2 more|arXiv (Cornell University)|May 9, 2012

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 25被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、3次元における逆2乗ポテンシャルを有するシュレーディンガー作用素の固有関数の正則性および減衰性を、重み付きソボレフ空間と径方向コンパクト化を用いて確立する。固有関数が重み付き空間で滑らかであり、適切な条件下で無限遠で指数的減衰を示すことを証明し、有限要素法や増強平面波法などの数値的手法における厳密な誤差推定を可能にする。

ABSTRACT

Let $V$ be a potential on $\RR^3$ that is smooth everywhere except at a discrete set $\maS$ of points, where it has singularities of the form $Z/ρ^2$, with $ρ(x) = |x - p|$ for $x$ close to $p$ and $Z$ continuous on $\RR^3$ with $Z(p) > -1/4$ for $p \in \maS$. Also assume that $ρ$ and $Z$ are smooth outside $\maS$ and $Z$ is smooth in polar coordinates around each singular point. We either assume that $V$ is periodic or that the set $\maS$ is finite and $V$ extends to a smooth function on the radial compactification of $\RR^3$ that is bounded outside a compact set containing $\maS$. In the periodic case, we let $Λ$ be the periodicity lattice and define $\TT := \RR^3/ Λ$. We obtain regularity results in weighted Sobolev space for the eigenfunctions of the Schrödinger-type operator $H = -Δ+ V$ acting on $L^2(\TT)$, as well as for the induced $\vt k$--Hamiltonians $\Hk$ obtained by restricting the action of $H$ to Bloch waves. Under some additional assumptions, we extend these regularity and solvability results to the non-periodic case. We sketch some applications to approximation of eigenfunctions and eigenvalues that will be studied in more detail in a second paper.

研究の動機と目的

• 3次元における逆2乗特異性を有するシュレーディンガー作用素の固有関数について、厳密な正則性結果を確立すること。
• これらの結果を周期的および非周期的設定にまで拡張し、\mathbb{R}^3 の径方向コンパクト化を含むこと。
• 有限要素法や増強平面波法などの数値近似手法の理論的基盤を提供すること。
• 非コンパクトな場合におけるシュレーディンガー方程式の本質的スペクトルと可解性を特定すること。
• 指数的重み関数を用いて、固有関数およびシュレーディンガー方程式の解の無限遠における減衰推定を導出すること。

提案手法

• 逆2乗特異性の近傍での正則性を分析するため、径方向コンパクト化 \overline{\mathbb{R}^3_{rad}} 上の重み付きソボレフ空間 \mathcal{K}_a^m の使用。
• 特異点を2次元球面に置き換えることで、非コンパクト問題を境界を持つコンパクト問題に変換するための径方向コンパクト化の適用。
• \rho が特異点で消える径方向関数として Z = \rho^2 V を定義し、特異性をコンパクト化空間上の滑らかなポテンシャルに吸収すること。
• 非コンパクトな場合における可逆性およびスペクトル的性質を分析するため、フレドホルム理論およびSG微積分の適応。
• コンパクト集合の外部で r(x) = |x| に対して指数的重み関数 e^{\epsilon r} を用い、固有関数の減衰推定を導出すること。
• 摂動論的議論および変換作用素 e^{\epsilon r} H_{\mathbf{k}} e^{-\epsilon r} の連続性を用いて、重み付き指数空間における可逆性を証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重み付きソボレフ空間において、逆2乗ポテンシャルを有するシュレーディンガー作用素の固有関数は、特異点近傍でどのように振る舞うか？
• RQ2 有限個の逆2乗特異性を有する非コンパクトな場合における H = -\Delta + V の本質的スペクトルの構造はいかなるものか？
• RQ3 C + H_{\mathbf{k}}u = f の解が無限遠で正則性を保ち、減衰するための条件は何か？
• RQ4 固有関数の正則性および減衰性の性質をどのようにして有限要素法における誤差推定に活用できるか？
• RQ5 周期的系に関する結果を、有限個の特異性および無限遠で有界なポテンシャルを有する非周期的状況にどの程度まで拡張できるか？

主な発見

• 仮定のもとで、3次元トーラス \mathbb{T} = \mathbb{R}^3 / \Lambda 上の H_{\mathbf{k}} の固有関数は重み付きソボレフ空間 \mathcal{K}_a^m に属する。
• 非コンパクトシュレーディンガー作用素 H の本質的スペクトルは \sigma_e(H) = [b_e, \infty) として特徴づけられ、ここで b_e は V の無限遠における下限である。
• \lambda < b_e のとき、C > C_0 ならば、C + H_{\mathbf{k}} は重み付きソボレフ空間上で可逆であり、C_0 は明示的に有界である。
• H_{\mathbf{k}} の固有関数 u は、十分に小さい \epsilon > 0 に対して e^{\epsilon r} u \in \mathcal{K}_\nu^m(\overline{(\mathbb{R}^3 \setminus \mathcal{S})_{rad}}) を満たし、無限遠で指数的減衰を示す。
• 同じ可逆性条件のもとで、C + H_{\mathbf{k}} は小刻みな |\epsilon| および |a| に対して、指数的重み付き空間 e^{\epsilon r} \mathcal{K}_{a+1}^m 上でも可逆のままである。
• 数値的実験により、グレーデッドメッシュおよび増強平面波を用いた理論的誤差推定が妥当であることが確認され、理論的枠組みが実用的計算に適合していることが検証された。