[論文レビュー] Analysis of the Deflated Conjugate Gradient Method Based on Symmetric Multigrid Theory

Karsten Kahl, H. Rittich|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2012

Matrix Theory and Algorithms被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、対称多重グリッド理論を用いて、拡張された共役勾配法の収束解析を提案し、弱近似性質とA-不変性（強化されたコーシー・シュワルツの不等式を用いて測定）に基づく収束推定を確立する。主な貢献は、任意の拡張部分空間に適用可能な一般化された収束フレームワークの確立であり、代数的多重グリッドの補間技術が拡張部分空間の構築を向上させられることを示唆している。

ABSTRACT

Deflation techniques for Krylov subspace methods and in particular the conjugate gradient method have seen a lot of attention in recent years. They provide means to improve the convergence speed of the methods in a rather straight forward way by enriching the Krylov subspace with a deflation subspace. The most common approach for the construction of deflation subspaces is to use (approximate) eigenvectors. However, there are many situations where a more general deflation subspace is advisable. We derive an estimate for the speed of convergence of the deflated conjugate gradient method using theory originally developed for algebraic multigrid methods. Our result holds for general deflation subspaces and is based on the weak approximation property---known from multigrid methods---and a measure of the A invariance of the subspace by the strengthened Cauchy-Schwarz inequality. In addition the result suggests that the techniques developed to construct efficient interpolation operators in algebraic multigrid methods can also be applied to improve deflation subspaces.

研究の動機と目的

• 標準的な固有ベクトルに基づく拡張にとどまらない、拡張された共役勾配法の一般化された収束解析フレームワークの構築を目的とする。
• Krylov部分空間法の収束が著しく高速化される条件を同定することを目的とする。
• 拡張部分空間設計を、特に補間作用素の構築を含む代数的多重グリッド技術と結びつけること。
• 弱近似性質とA-不変性が収束行動に果たす役割を形式化すること。

提案手法

• 分析は、特に多重グリッド収束のための弱近似性質に注目した、対称多重グリッド理論に裏打ちされている。
• 強化されたコーシー・シュワルツの不等式を用いて、拡張部分空間のA-不変性を定量化することで、収束推定が導出される。
• 本手法は、近似固有ベクトルに限定されない一般の拡張部分空間に適用可能である。
• 収束境界は、部分空間が解空間をどれだけうまく近似できるか、およびシステム行列Aに対する不変性の程度に依存する。
• 特定の構造を仮定しない理論的結果が導出され、広範な適用可能性が保証される。
• フレームワークは、代数的多重グリッドの補間作用素を再利用して、より効果的な拡張部分空間を構築できると示唆している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固有ベクトルに基づく拡張にとどまらない、一般化された設定における拡張された共役勾配法の収束をどのように解析できるか？
• RQ2 弱近似性質は、拡張されたKrylov法の収束にどのような役割を果たすか？
• RQ3 強化されたコーシー・シュワルツの不等式を用いて測定される、拡張部分空間のA-不変性は、収束速度にどのように影響するか？
• RQ4 代数的多重グリッドの技術、特に補間作用素の設計を、拡張部分空間の品質向上に応用できるか？
• RQ5 一般の拡張部分空間が共役勾配法において堅牢に収束するための理論的条件は何か？

主な発見

• 拡張された共役勾配法の収束は、拡張部分空間の弱近似性質を含む項によって上限が与えられる。
• 収束速度は、強化されたコーシー・シュワルツの不等式を用いて定量化されたA-不変性によってもさらに制御される。
• 理論的フレームワークは、固有ベクトルに基づくものに限定されない任意の拡張部分空間に適用可能である。
• 解析により、特に補間作用素を含む代数的多重グリッドの部分空間構築手法が、より効果的な拡張部分空間の構築に直接活用可能であることが明らかになった。
• 収束推定は、異なる拡張部分空間設計を評価・比較するための根拠ある手法を提供する。