[論文レビュー] Analysis of the Effective Degrees of Freedom in Genetic Algorithms

Christopher R. Stephens, Henri Waelbroeck|ArXiv.org|Nov 13, 1996

Evolutionary Algorithms and Applications参考文献 6被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、選択、突然変異、交差を伴う遺伝的アルゴリズム（GAs）における進化方程式を導出する。スケーリングの粗いグレイン解析を用い、各世代あたりのスキーマ内平均適合度上昇量であるΔ_lを用いて、適合度上昇を評価する。k=0のランドスケープでは、スキーマの再構築がわずかに破壊を上回り、極端に長いスキーマ（l ≪ N/2 または l ≫ N/2）が有利となる。一方、k>0のランドスケープでは、有効自由度はスキーマそのものではなく、協調するビットの接続木であり、相関は染色体的距離ではなく接続距離に従って減少する。

ABSTRACT

An evolution equation for a population of strings evolving under the genetic operators: selection, mutation and crossover is derived. The corresponding equation describing the evolution of schematas is found by performing an exact coarse graining of this equation. In particular exact expressions for schemata reconstruction are derived which allows for a critical appraisal of the ``building-block hypothesis'' of genetic algorithms. A further coarse-graining is made by considering the contribution of all length-l schematas to the evolution of population observables such as fitness growth. As a test function for investigating the emergence of structure in the evolution the increase per generation of the in-schemata fitness averaged over all schematas of length l, $Δ_l$, is introduced. In finding solutions of the evolution equations we concentrate more on the effects of crossover, in particular we consider crossover in the context of Kauffman Nk models with k=0,2. For k=0, with a random initial population, in the first step of evolution the contribution from schemata reconstruction is equal to that of schemata destruction leading to a scale invariant situation where the contribution to fitness of schematas of size l is independent of l. This balance is broken in the next step of evolution leading to a situation where schematas that are either much larger or much smaller than half the string size dominate over those with $l \approx N/2$. The balance between block destruction and reconstruction is also broken in a k>0 landscape. It is conjectured that the effective degrees of freedom for such landscapes are landscape connective trees that break down into effectively fit smaller blocks, and not the blocks themselves. Numerical simulations confirm this ``connective tree hypothesis'' by showing that correlations drop off with connective distance and not with intrachromosomal distance.

研究の動機と目的

• 選択、突然変異、交差の下でのスキーマダイナミクスを分析することにより、遺伝的アルゴリズムにおける有効自由度を特定すること。
• 正確なスキーマ再構築と破壊の式を導出することにより、ビルドブロック仮説の妥当性を評価すること。
• Nkランドスケープにおけるk=0およびk=2の状況下で、交差がさまざまなスキーマ長lにおける適合度上昇に与える影響を調査すること。
• 複雑なランドスケープにおける有効ビルドブロックの出現を支配するのは、染色体的近接性か、接続構造かを特定すること。
• k>0ランドスケープにおける有効自由度がスキーマそのものではなく、協調するビットの接続木であるという仮説を検証すること。

提案手法

• 遺伝的演算子（選択、突然変異、交差）の下での文字列集団の正確な進化方程式を導出する。
• 正確な粗いグレイン化を実施し、スキーマレベルの進化方程式を導出し、スキーマ再構築と破壊の正確な追跡を可能にする。
• 構造的出現を調査するためのテスト関数として、各世代あたりの平均スキーマ内適合度上昇量Δ_lを導入する。
• 交差効果を分析するために、k=0（相関のないビット）およびk=2（相関のあるビット）のNkランドスケープにモデルを適用する。
• 数値シミュレーションを用いて、接続距離と染色体的距離の両方における相関の減少を測定することで、「接続木仮説」を検証する。
• 有限サイズ効果と選択閾値を分析し、どのスキーマが最も多く存続し、適合度上昇に寄与するかを特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 交差は、遺伝的アルゴリズムにおけるスキーマ破壊と再構築のバランスにどのように影響するか？
• RQ2 特にk>0の場合に、Nkランドスケープにおける有効自由度は何かを決定する要因は何か？
• RQ3 スキーマの長さlと、協調的ビット相互作用に基づく接続構造のどちらが、適合度向上を支配するか？
• RQ4 ビルドブロック仮説はk=0およびk=2ランドスケープでどの程度成立するか。定量的限界は何か？
• RQ5 選択閾値と有限の集団サイズは、特定の長さと指定ビット数を持つスキーマの優位性にどのように影響するか？

主な発見

• k=0ランドスケープでは、すべてのlについてスキーマ再構築がわずかに破壊を上回り、最初の世代では適合度寄与がlに依存しないスケール不変領域が生じる。
• 最初の世代以降、スキーマ再構築と破壊のバランスが崩れ、N/2よりもはるかに短いか、はるかに長いスキーマが有利になる。
• k>0ランドスケープでは、有効自由度はスキーマそのものではなく、協調するビットの接続木である。相関は染色体的距離ではなく、接続距離に従って減少する。
• 数値シミュレーションにより、「接続木仮説」が確認された。適合度相関は、文字列に沿った物理的距離ではなく、接続距離に従って低下する。
• 有限サイズ効果と選択閾値は、l > N/2の場合にのみ、N_2（指定ビット数）が大きな適合度を持つスキーマを優位にし、適合度上昇に主導的役割を果たす。
• 一般的なGA設計の常識とは対照的に、協調するビットを近接させることは効果がなく、最も効果的な構成は、それらのビットを最大限に離隔させることであり、これはランダムコーディングのデフォルトである。