[論文レビュー] Analysis of the L1 scheme for fractional wave equations with nonsmooth data

Binjie Li, Tao Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2019

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 36被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、初期データが滑らかでない時間分数波動方程式に対してL1スキームを分析し、新たな安定性見積もりを導出し、標準L1スキームの時間方向収束次数が $\mathcal{O}(\tau^{3-\alpha})$ であることを証明する。また、$\mathcal{O}(\tau^2)$ の精度を達成するように改良されたL1スキームを提案し、均等な時間グリッドと $\tau^\alpha / h_{\min}^2$ が有界である条件下で、両スキームの $L^2(\Omega)$-ノルムにおける収束性を確立する。結果は数値的に検証されている。

ABSTRACT

This paper analyzes the well-known L1 scheme for fractional wave equations with nonsmooth data. A new stability estimate is obtained, and the temporal accuracy $ \mathcal O(τ^{3-α}) $ is derived for the nonsmooth initial data. In addition, a modified L1 scheme is proposed, and stability and temporal accuracy $ \mathcal O(τ^2) $ are derived for this scheme with nonsmooth initial data. The convergence of the two schemes in the inhomogeneous case is also established. Finally, numerical experiments are performed to verify the theoretical results.

研究の動機と目的

• 時間分数波動方程式にL1スキームを適用した際、初期データが滑らかでない場合の $L^2(\Omega)$-ノルムにおける収束解析が不足しているという問題に対処すること。
• 解の正則性仮定を最小限に抑えた条件下で、L1スキームの時間方向精度を向上させること。
• 滑らかでない初期データに対して $\mathcal{O}(\tau^2)$ 収束を達成する改良L1スキームを提案し、その解析を行うこと。
• 非同次ケース（$f \not\equiv 0$）において、両スキームの収束性を確立すること。
• 比 $\tau^\alpha / h_{\min}^2$ が時間方向精度に与える影響が果たす重要な役割を特定すること。

提案手法

• 滑らかでない初期データを伴う時間分数波動方程式に適用したL1スキームに対して、新たな安定性見積もりを導出する。
• 解析ではリーマン＝リウヴィル分数階微分 $\operatorname{D}_{0+}^{\alpha-1}$ を用い、方程式 $\operatorname{D}_{0+}^{\alpha-1}(u' - u_1)(t) - \Delta u(t) = f(t)$ に適用する。
• 時間方向の分数階微分のための修正された求積則を用いた、L1スキームの改良版を提案する。
• 完全離散化は、時間方向にL1または改良L1スキームを、空間方向に標準的な $P_1$-有限要素法を組み合わせることで行う。
• 均等な時間グリッドと $\tau^\alpha / h_{\min}^2$ が有界であるという仮定の下で、誤差見積もりを導出する。ここで $h_{\min}$ は最小要素直径を表す。
• 数値実験を通じて、$\alpha$ やメッシュサイズを変化させた場合の両スキームの理論的収束次数の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかでない初期データを伴う時間分数波動方程式に対して、標準L1スキームの時間方向収束次数は $L^2(\Omega)$-ノルムでどの程度か？
• RQ2 滑らかでない初期データに対して、改良L1スキームが $\mathcal{O}(\tau^2)$ の時間方向精度を達成できるか？
• RQ3 比 $\tau^\alpha / h_{\min}^2$ はL1スキームの時間方向精度にどのように影響を与えるか？
• RQ4 非同次ケース（$f \not\equiv 0$）において、L1スキームおよび改良L1スキームの収束性は確立されているか？
• RQ5 非一様時間グリッドや変数係数が、L1スキームの誤差見積もりに与える影響は何か？

主な発見

• 滑らかでない初期データに対して、均等な時間グリッドと $\tau^\alpha / h_{\min}^2$ が有界である条件下で、標準L1スキームは $L^2(\Omega)$-ノルムにおいて時間方向収束次数 $\mathcal{O}(\tau^{3-\alpha})$ を達成する。
• 新たな安定性見積もりが導出され、$\mathcal{O}(\tau^{3-\alpha})$ 収束速度の証明に不可欠である。
• 改良L1スキームは、滑らかでない初期データに対しても $\mathcal{O}(\tau^2)$ の時間方向精度を達成し、標準L1スキームの $\mathcal{O}(\tau^{3-\alpha})$ の収束速度を上回る。
• 両スキームの収束性は非同次ケースにおいても確立されており、誤差境界はソース項 $f$ の正則性に依存する。
• 数値実験により、予測された収束次数が確認された：標準L1スキームでは $\alpha \leq 3/2$ の場合に $\mathcal{O}(h^2)$、$\alpha > 3/2$ の場合に $\mathcal{O}(h^{6/\alpha - 2})$ を達成する。改良L1スキームでは、すべての $\alpha \in (1,2)$ に対して $\mathcal{O}(h^2)$ を達成する。
• 実験結果から、$\tau^\alpha / h_{\min}^2$ が一様に有界でない場合、両スキームの時間方向精度が劣化することが示され、理論的要件が確認された。