[論文レビュー] Analysis of the Rigorous Coupled Wave Approach for s-Polarized Light in Gratings

Benjamin J. Civiletti, Akhlesh Lakhtakia+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2019

Optical Coatings and Gratings被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、2次元グレーティングにおけるs偏光光に対して、RCWAがガレルキン法であることを証明することで、RCWAの収束性を確立した。これにより、有限要素法（FEM）の技術を応用可能となる。非捕獲条件の下で、保持されたフーリエモード数（O(M⁻²)）およびスライス厚さ（O(h¹/²)、数値結果ではより速い収束率を示す）に関する収束性を証明し、明示的な連続性定数を伴う。

ABSTRACT

We study the convergence properties of the two-dimensional Rigorous Coupled Wave Approach (RCWA) for s-polarized monochromatic incident light. The RCWA is widely used to solve electromagnetic boundary-value problems where the relative permittivity varies periodically in one direction, i.e., scattering by a grating. This semi-analytical approach expands all the electromagnetic field phasors as well as the relative permittivity as Fourier series in the spatial variable along the direction of periodicity, and also replaces the relative permittivity with a stairstep approximation along the direction normal to the direction of periodicity. Thus, there is error due to Fourier truncation and also due to the approximation of grating permittivity. We prove that the RCWA is a Galerkin scheme, which allows us to employ techniques borrowed from the Finite Element Method to analyze the error. An essential tool is a Rellich identity that shows that certain continuous problems have unique solutions that depend continuously on the data with a continuity constant having explicit dependence on the relative permittivity. We prove that the RCWA converges with an increasing number of retained Fourier modes and with a finer approximation of the grating interfaces. Numerical results show that our convergence results for increasing the number of retained Fourier modes are seen in practice, while our estimates of convergence in slice thickness are pessimistic.

研究の動機と目的

• 2次元の厳密な結合波アプローチ（RCWA）が、周期的グレーティング構造におけるs偏光光に対して収束することを厳密に分析すること。
• RCWAがガレルキン法であることを確立し、誤差解析に有限要素法（FEM）の技術を適用可能とすること。
• 連続問題に対するa-priori推定とリリッヒド・アイデンティティを導出することで、解の一意性およびデータへの連続的依存性を保証すること。
• 保持されたフーリエモード数およびグレーティング界面のステアーケップ近似に関するRCWAの収束性を証明すること。
• 適切に細分化されたFEM解を基準として、理論的収束率を数値的に検証すること。

提案手法

• 不均一ヘルムホルツ方程式と準周期的境界条件を含む電磁散乱問題を、変分問題として定式化する。
• 解の一意性および連続的依存性を保証するため、相対誘電率に明示的な依存性を持つリリッヒド・アイデンティティとa-priori推定を導出する。
• フーリエ展開と区分的定数誘電率近似を用いて、弱形式の変分問題を満たすことを示すことにより、RCWAがガレルキン法であることを証明する。
• FEMに基づく収束解析手法を適用し、保持されたフーリエモード数（M）およびスライス厚さ（h）に関する収束率を確立する。
• 適応メッシュによるNGSolveでのPMLと後騒誤差推定を用いて、高精度なFEM基準解を計算する。
• Zienkiewicz–Zhu誤差推定とメッシュの二分法を用いて、FEM基準解の高精度を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 保持されたフーリエモード数を増加させた際にRCWAは収束するか？その収束率は？
• RQ2 ステアーケップ近似のスライス厚さを小さくした際にRCWA解は収束するか？理論的収束率は？
• RQ3 RCWAをガレルキン法として厳密に分析可能か？これによりFEM収束ツールの適用が可能か？
• RQ4 a-priori推定における連続性定数は、メッシュサイズ（スライス厚さ）および誘電率にどのように依存するか？特に非捕獲領域では？
• RQ5 理論的収束率は数値実験と整合するか？特に非対称および対称グレーティング構造において？

主な発見

• RCWAが厳密にガレルキン法であることが証明され、FEMに基づく収束解析手法の適用が可能となった。
• 保持されたフーリエモード数に関する理論的収束率はO(M⁻²)であり、対称および非対称グレーティング例における観測された数値収束率と一致する。
• スライス厚さに関する理論的収束率はO(h¹/²)であるが、数値結果ではより速い収束を示す：非対称グレーティングでO(h¹·⁵⁶)、対称グレーティングでO(h¹·⁷)。
• 非捕獲条件下では、a-priori推定の連続性定数がスライス厚さhに依存せずに有界のまま維持され、hに関する収束性の証明に不可欠である。
• リリッヒド・アイデンティティと明示的なa-priori推定が一般化され、連続問題における解の存在および一意性の確立に用いられた。
• 数値的検証により、RCWA解が高精度なFEM解に収束することが確認され、すべてのテスト構成で誤差が約10⁻⁴で飽和した。