[論文レビュー] Analysis of the self-similar spreading of power law fluids

Marco A. Fontelos, Betelu, S. I.+2 more|ArXiv.org|Jun 27, 2003

Fluid Dynamics and Thin Films参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、毛細管力の下での薄いパワー則流体膜の拡散について自己相似解を分析し、1次元および2次元幾何におけるソース型解の存在および一意性条件を導出する。非線形性の程度が低い（λ > 1）剪切薄体流体では、有限接触角解およびゼロ接触角解の両方が存在し、ゼロ接触角解は一意的であるが、ニュートン流体または剪切厚体流体（λ ≤ 1）ではそれらの解は存在しないことを証明する。

ABSTRACT

We consider the equation that models the spreading of thin liquid films of power-law rheology. In particular, we analyze the existence and uniqueness of source-type self-similar solutions in planar and circular symmetries. We find that for shear-thinning fluids there exist a family of such solutions representing both finite and zero contact angle drops and that the solutions with zero contact angle are unique. We also prove the existence of traveling waves in one space dimension and classify them.

研究の動機と目的

• 平面的および放射的対称幾何における薄いパワー則流体膜の自己相似解の存在および一意性を確立すること。
• 特に接触角の挙動に注目して、コンパクトなサポートを持つソース型解が存在する条件を特定すること。
• 特に剪切薄体流体に対して、移動波解を分類し、界面のダイナミクスを分析すること。
• ニュートン流体の場合（λ = 1）に生じる物理的不整合を解消し、有限速度で拡散するフロントがλ > 1でのみ存在することを示すこと。
• 先行研究で示唆された漸近的および数値的結果の厳密な数学的基盤を提供すること。

提案手法

• 潤滑近似を用いて薄膜拡散の支配的偏微分方程式を導出し、4階非線形偏微分方程式 $ u_t + (u^{ u+2} |u_{xxx}|^{ u-1} u_{xxx})_x = 0 $ を得る。ここで $ \nu = \nu + 1 $ である。
• 自己相似スケーリング $ u(x,t) = t^{-\beta} U(x t^{-\beta}) $ を適用し、PDEを1変数関数 $ U(\eta) $ に対する常微分方程式に還元する。1次元では $ \beta = 1/(5\lambda + 2) $、放射対称では $ \beta = 1/(7\lambda + 3) $ である。
• 変数変換により常微分方程式を1階系系に変換し、特異点付近の軌道の位相空間解析を可能にする。
• 不変多様体理論および漸近解析を用いて、原点および界面付近での解の挙動を分類し、ゼロ接触角または有限接触角を持つ解を特定する。
• シューティング法および連続性の議論を用いて、コンパクトなサポートおよび指定された界面条件を持つ解の存在を証明する。
• 移動波解を分析し、移動フロント付近での局所的挙動を分類し、有限接触角およびゼロ接触角の2種類の異なる界面タイプが確認される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パワー則流体が1次元および2次元幾何で自己相似的ソース型解を持つのか。その条件は何か？
• RQ2 界面におけるゼロ接触角解と有限接触角解の存在および一意性は、何によって決定されるか？
• RQ3 なぜ剪切薄体流体（λ > 1）では有限速度で拡散するフロントが存在するが、ニュートン流体（λ = 1）では存在しないのか？
• RQ4 常微分方程式系の位相空間構造は、界面付近での移動フロントの局所的挙動とどのように関係するか？
• RQ5 移動波解は、自己相似的状態における移動フロントのすべての物理的挙動を分類できるか？

主な発見

• 剪切薄体流体（λ > 1）では、1次元平面的対称性において、コンパクトなサポートを持つ1パラメータ族の自己相似解が存在する。
• ゼロ接触角を持つ解は一意的であるが、有限接触角を持つ解は1パラメータ族を形成する。
• λ ≤ 1 では、自己相似的ソース型解は存在せず、ニュートン流体または剪切厚体流体では有限速度での拡散が物理的に不可能であることが確認される。
• 放射対称性においても、同様の条件を満たす自己相似解の存在が示され、常微分方程式 $ U^{\lambda+2} \left( (U'' + U'/\eta)' \right)^\lambda = \eta U $ が用いられる。
• 位相空間解析により、物理的に関連のある界面挙動は2種類に限られる：有限接触角およびゼロ接触角であり、後者は一意な軌道に対応する。
• 移動波解の分析により、界面付近での物理的に許容される局所的挙動は、有限接触角またはゼロ接触角を持つものに限られ、2次関数的増大や非物理的減衰を示す不適切な解は除外される。