[論文レビュー] Analysis of the Shifted Boundary Method for the Poisson Problem in General Domains

Nabil M. Atallah, Claudio Canuto+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2020

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、一般の2次元および3次元領域におけるディリクレ条件を伴うポアソン方程式に対して、シフトド境界法（SBM）の厳密な数学的分析を提供する。境界は滑らかでない場合を含む。この手法は、真の境界とは一致しないが近接する代替境界上で境界条件を適用し、最適収束率を維持するために値を修正する。エネルギーノルムにおける最適な $ h^2 $ 収束率と、コーナー特異性が存在する場合でも向上した $ L^2 $-ノルムにおける収束が達成される。

ABSTRACT

The shifted boundary method (SBM) is an approximate domain method for boundary value problems, in the broader class of unfitted/embedded/immersed methods. It has proven to be quite efficient in handling problems with complex geometries, ranging from Poisson to Darcy, from Navier-Stokes to elasticity and beyond. The key feature of the SBM is a {\it shift} in the location where Dirichlet boundary conditions are applied - from the true to a surrogate boundary - and an appropriate modification (again, a {\it shift}) of the value of the boundary conditions, in order to reduce the consistency error. In this paper we provide a sound analysis of the method in smooth and non-smooth domains, highlighting the influence of geometry and distance between exact and surrogate boundaries upon the convergence rate. Without loss of generality, we consider the Poisson problem with Dirichlet boundary conditions as a model and we first detail a procedure to obtain the crucial shifting between the surrogate and the true boundaries. Next, we give a sufficient condition for the well-posedness and stability of the discrete problem. The behavior of the consistency error arising from shifting the boundary conditions is thoroughly analyzed, for smooth boundaries and for boundaries with corners and edges. The convergence rate is proven to be optimal in the energy norm, and is further enhanced in the $L^2$-norm.

研究の動機と目的

• 一般の複雑な幾何形状を有する領域におけるシフトド境界法（SBM）の数学的基盤を確立すること。
• ディリクレ条件を伴うポアソン問題に対するSBMの安定性、一貫性、収束性を分析すること。
• コーナーやエッジなどの幾何的特異性がSBMの収束速度に与える影響を調査すること。
• 離散SBM定式化の適切な定義と安定性のための十分条件を導出すること。
• 真の境界と代替境界の間の距離が一貫性誤差と収束挙動に与える影響を定量化すること。

提案手法

• SBMは、真の物理的境界とは一致しないがそれに近い代替境界上でディリクレ境界条件を適用する。
• 正確な解の真の境界における切り捨てテイラー展開から得られるシフト値を用いて境界条件を修正し、一貫性誤差を低減する。
• 安定性と一貫性を保証するために、Nitsche型の弱い強制戦略が用いられる。
• 代替領域は、物理領域を超過する可能性がある形状正則な非適合メッシュから構築され、代替境界はメッシュと物理領域の積集合として定義される。
• 距離が $ h^{1+ heta} $ として $ h $ に対して減少する漸近的条件が課され、安定性と収束性を保証する。
• 双対性の議論を用いて、エネルギーノルムの推定から $ L^2 $-ノルムの収束率を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コーナーやエッジなどの幾何的特異性が、SBMの一致誤差と収束速度に与える影響は何か？
• RQ2 真の境界と代替境界の間の距離が、SBM離散化の安定性と収束に与える影響は何か？
• RQ3 離散SBM定式化が適切に定義され、数値的に安定であるための条件は何か？
• RQ4 滑らかでない領域に対してもエネルギーノルムで最適な収束率が達成可能か？この文脈でテイラー展開の剰余項の役割は何か？
• RQ5 実際に $ L^2 $-ノルムでの収束速度は何か？特異性が存在する場合、理論的予測と比較してどうなるか？

主な発見

• 滑らかな領域では、境界がずれてもエネルギーノルムにおける最適な $ h^2 $ 収束率が達成される。
• コーナーを有する非滑らかな領域では、エネルギーノルムの収束率は正確な解の正則性に依存し、$ u \in H^{1+r} $（$ r < 2/3 $）のとき、エネルギーノルムでの収束率は $ h^{2/3} $ となる。
• $ L^2 $-ノルムの収束率は向上し、$ h^{4/3} $ に近づく。これはエネルギーノルムの収束率よりも高く、理論的予測と数値的観察に一致する。
• エネルギーノルムにおける非最適性の主な要因は、真の境界と代替境界の法線ベクトルの不一致であり、これは $ E_1(\psi,w) $ という項で定量化され、法線間の角度に依存する。
• 数値的検証により、エネルギーノルムにおける実際の収束率が理論的予測と一致することが確認され、$ \omega = 3\pi/2 $ の再entrantコーナーに対して観測された収束率は $ h^{2/3} $ であった。
• $ L^2 $-ノルムの収束率は約 $ h^{4/3} $ と観測され、予測された $ 7/6 $ よりもわずかに高く、ヒューリスティックな仮定のもとでさらなる改善が可能である可能性を示唆している。