[論文レビュー] Analysis on Wiener Space and Applications

Ali Süleyman Üstünel|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2010

advanced mathematical theories参考文献 47被引用数 32

ひとこと要約

この論文は、マリヤン・カスケルを用いたウィーナー空間上での解析について包括的な取り扱いを提供し、グロス＝ソボレフ微分作用素やオーランシュタイン＝ウーレンバック作用素といった基礎的道具を確立し、対数ソボレフ不等式、マイヤー不等式、容量論的結果の証明に応用する。主な貢献の一つは、クラークの公式を分布へと拡張し、密度および非線形フィルタリング方程式の解の正則性に関する結果を得ることである。

ABSTRACT

The aim of this book is to give a rigorous introduction for the graduate students to Analysis on Wiener space, a subject which has grown up very quickly these recent years under the new impulse of the Stochastic Calculus of Variations of Paul Malliavin.

研究の動機と目的

• マリヤン・カスケルの枠組みを用いて、ウィーナー空間上での解析について、体系的かつ修士課程レベルの入門を提供すること。
• 古典的な結果、例えば対数ソボレフ不等式やマイヤー不等式を、無限次元設定へと拡張すること。
• ウィーナー関数の正則性を研究するための道具を開発すること、特にクラークの公式を分布へと拡張すること。
• これらの道具を、確率的フィルタリング、測度輸送、およびコンパクトなリー群上の経路空間の問題に応用すること。
• ウィーナー空間上での確率論的凸性、対数凹性、および関数不等式との間の関係を確立すること。

提案手法

• ウィーナー空間上での解析のための中心的道具として、グロス＝ソボレフ微分作用素とオーランシュタイン＝ウーレンバック作用素を用いる。
• オーランシュタイン＝ウーレンバック半群の超合同性を用いて、L. グロスの対数ソボレフ不等式を証明する。
• クラークの公式を分布空間へと拡張し、非退化なウィーナー関数およびその密度の研究を可能にする。
• オーランシュタイン＝ウーレンバック過程に基づく容量論を用いて、0-1法則を強化し、ゲージ関数の準連続的有限性を証明する。
• 局所ソボレフ空間を導入し、パッチワークによるグローバル関数の構成を行う。これは、事前に可積分でない対象に対して特に有用である。
• 楕円型作用素の2次量子化を用いて分布空間を定義し、シフト作用素などの例を提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マリヤン・カスケルの枠組みを、分布的微分作用素や発散作用素を含むウィーナー空間上での解析に体系的に展開するにはどうすればよいか？
• RQ2 非退化なウィーナー関数の密度が滑らかでかつ急速に減少するための条件は何か？
• RQ3 容量論を用いることで、オーランシュタイン＝ウーレンバック半群の0-1法則および正性を保つ性質をどの程度強化できるか？
• RQ4 特異な二次的コスト関数を伴う無限次元ウィーナー空間上でのモンジュ＝カンタロヴィチ測度輸送問題をどのように定式化し、解けるか？
• RQ5 コンパクトなリー群上の経路空間におけるソボレフ解析の構造は何か？また、平坦なウィーナー空間の場合とどう関係するか？

主な発見

• 微分作用素および発散作用素は、オーランシュタイン＝ウーレンバック作用素を用いて定義される分布空間へ連続的に拡張可能である。
• 非退化なウィーナー関数の確率密度は $ C^ u $ であるだけでなく、クラークの公式の分布的拡張により、急速に減少することも示された。
• $ H $-不変集合、またはその補集合は、$ C_{r,1} $-容量に関して0である。これは、容量論的文脈における0-1法則の強化を意味する。
• 非退化な $ \rm I\rm R^n $-値ウィーナー関数と $ \rm I\rm R^n $ 上の滑らかな関数の合成は、関数が緩やかな分布である限り、緩やかな分布へと拡張可能である。
• 非線形フィルタリングにおけるザカイ方程式の解が滑らかであることが示され、緩やかな分布空間内での伊藤の公式の拡張が確立された。
• コンパクトなリー群 $ G $ 上の経路およびループ空間に対して、$ \theta_p^{-1}L\theta_p^{-1}\tilde{\rho}(\rho) $ に関する適切な可積分性およびノルム条件を満たすとき、$ E_1[F(\rho(p)p)|J_\rho|] = E_1[F] $ が成り立ち、さらに $ L^{1+b} $ 可積分性条件を追加すれば $ E_\nu[J_\rho] = 1 $ が成り立つ。