[論文レビュー] Analysis vs. synthesis sparsity for $\alpha$-shearlets

Felix Voigtlaender, Anne Pein|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2017

Mathematical Analysis and Transform Methods被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、生成関数の滑らかさとサンプリング密度に関する明確な条件下で、$\alpha$-シェアレット系における解析的スパarsityと合成的スパarsityの等価性を確立する。滑らかさ空間 $\mathscr{S}_{\alpha,s}^{p,q}$ が両方のスパarsityを同時に特徴づけることを証明し、カートゥーン風関数に対して最適な $N^{-1}$ 近似率を達成可能にする。これにより、係数の明示的制御のもとで、解析的スパarsityが合成的スパarsityを意味することを示すことで、長年の文献的ギャップを解消する。

ABSTRACT

There are two notions of sparsity associated to a frame $\\Psi=(\\psi_i)_{i\\in I}$: Analysis sparsity of $f$ means that the analysis coefficients $(\\langle f,\\psi_i\ angle)_i$ are sparse, while synthesis sparsity means that $f=\\sum_i c_i\\psi_i$ with sparse coefficients $(c_i)_i$. Here, sparsity of $c=(c_i)_i$ means $c\\in\\ell^p(I)$ for a given $p<2$. We show that both notions of sparsity coincide if $\\Psi={\ m SH}(\\varphi,\\psi;\\delta)$ is a discrete (cone-adapted) shearlet frame with 'nice' generators $\\varphi,\\psi$ and fine enough sampling density $\\delta>0$. The required 'niceness' is explicitly quantified in terms of Fourier-decay and vanishing moment conditions. Precisely, we show that suitable shearlet systems simultaneously provide Banach frames and atomic decompositions for the shearlet smoothness spaces $\\mathscr{S}_s^{p,q}$ introduced by Labate et al. Hence, membership in $\\mathscr{S}_s^{p,q}$ is simultaneously equivalent to analysis sparsity and to synthesis sparsity w.r.t. the shearlet frame. As an application, we prove that shearlets yield (almost) optimal approximation rates for cartoon-like functions $f$: If $\\epsilon>0$, then $\\Vert f-f_N\\Vert_{L^2}\\lesssim N^{-(1-\\epsilon)}$, where $f_N$ is a linear combination of N shearlets. This might appear to be well-known, but the existing proofs only establish this approximation rate w.r.t. the dual $\ ilde{\\Psi}$ of $\\Psi$, not w.r.t. $\\Psi$ itself. This is not completely satisfying, since the properties of $\ ilde{\\Psi}$ (decay, smoothness, etc.) are largely unknown. We also consider $\\alpha$-shearlet systems. For these, the shearlet smoothness spaces have to be replaced by $\\alpha$-shearlet smoothness spaces. We completely characterize the embeddings between these spaces, allowing us to decide whether sparsity w.r.t. $\\alpha_1$-shearlets implies sparsity w.r.t. $\\alpha_2$-shearlets.

研究の動機と目的

• ディレクション性表現系におけるシェアレット理論における、解析的スパarsityが合成的スパarsityを意味するかどうかという長年の曖昧さを解消すること。
• 一般の $\alpha \in [0,1]$ に対して、$\alpha$-シェアレットの重み付き $\ell^p$ 空間におけるスパarsity等価性の明確な特徴づけを確立すること。
• 生成関数の減衰およびモーメント条件の明示的制御のもとで、シェアレット滑らかさ空間 $\mathscr{S}_{\alpha,s}^{p,q}$ が、解析的および合成的スパarsityの両方を同時に特徴づけることを証明すること。
• カートゥーン風関数に対して、$N$ 項 $L^2$ 近似誤差が $N^{-1}$（対数要因を除いて）のレートに達することを示し、既存の証明におけるギャップを解消すること。
• $\alpha$ の異なる値における $\alpha$-シェアレット滑らかさ空間間の埋め込みを特徴づけ、異なるシステム間でのスパarsity転送を可能にすること。

提案手法

• フーリエ減衰およびモーメント条件を満たす生成関数を備えたコーン適応シェアレットフレームを用い、$L^2$-ノルムおよび重み付き $\ell^p$ 空間で定量的に表現する。
• スケール $j$ を符号化する重み $w^s = (2^{js})$ を用いた重み付き $\ell_{w^s}^p$ 空間 $\ell_{w^s}^p$ を導入し、滑らかさとスパarsityを同時にモデル化する。
• ステフキン推定を適用し、係数列の尾部の $\ell^p$-ノルムに基づいて $N$ 項近似の誤差を評価する。
• フレーム作用素 $S^{(\delta)}$ 及びその逆作用素を用いた双対フレーム構成により、合成係数と解析係数を関連付ける。
• 係数列と $L^2$-ノルムの近似誤差を結びつけるために、フレーム性質 $S^{(\delta)} \circ C^{(\delta)} = \text{id}_{L^2}$ を適用する。
• 高周波数または高スケール領域における係数減衰を制御するため、$\omega_0^{\kappa_0}(\delta B_v^{-T}k)$ を含む重み付き推定を適用し、可積分性および可summabilityを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 生成関数およびサンプリング密度に適切な条件下で、シェアレットフレームにおける解析的スパarsityが、同じ関数の合成的スパarsityを意味するか？
• RQ2 $\alpha$-シェアレットフレームに関して、シェアレット滑らかさ空間 $\mathscr{S}_{\alpha,s}^{p,q}$ が、解析的および合成的スパarsityの両方を同時に特徴づけられるか？
• RQ3 異なる $\alpha$ 値における $\alpha$-シェアレット滑らかさ空間の正確な関係は何か？ また、あるシステムにおけるスパarsityが、別のシステムにおけるスパarsityを意味するか？
• RQ4 カートゥーン風関数に対して、$N$ 項近似レート $N^{-1}$（対数要因を除いて）が、合成的スパarsityを用いて厳密に確立可能か？ すなわち、解析的スパarsityに依存するのではなく。
• RQ5 生成関数 $\varphi, \psi$ に必要な明示的な減衰およびモーメント条件は何か？ これにより、解析的および合成的スパarsityが一致する。

主な発見

• 生成関数がフーリエ減衰およびモーメント条件を満たし、サンプリング密度 $\delta > 0$ が十分に小さい $\alpha$-シェアレットフレームでは、解析的および合成的スパarsityが一致する。
• 滑らかさ空間 $\mathscr{S}_{s+\frac{3}{2}(p^{-1}-2^{-1})}^{p,p}(\mathbb{R}^2)$ は、解析的および合成的スパarsityの両方を同時に特徴づけ、$f$ がその空間に属する、解析係数が $\ell_{w^s}^p$ に属する、合成係数が $\ell_{w^s}^p$ に属する、という3条件の等価性を示す。
• カートゥーン風関数 $f \in \mathcal{E}^2(\mathbb{R}^2)$ に対して、$N$ 項近似誤差は $\|f - f_N\|_{L^2} \lesssim N^{-(1-\varepsilon)}$（任意の $\varepsilon > 0$）を満たし、これはほぼ最適である。
• 本稿は、先行研究におけるギャップを埋め、解析的スパarsityのみでは最適な $N^{-1}$ 近似レートが保証されないが、新たな等価性結果のもとで合成的スパarsityがそれらを達成できることを示した。
• 著者らは、$\ell_{u^{(1+\alpha)/2}}^\infty(V^{(\alpha)} \times \mathbb{Z}^2)$ が $\ell_{u^{(1+\alpha)/2}}^\infty(V^{(\alpha)} \times \mathbb{Z}^2)$ に同型であることを証明し、スケールおよび方向にわたる係数列の制御を可能にする。
• $\alpha$-シェアレット滑らかさ空間 $\mathscr{S}_{\alpha,s}^{p,q}$ 間の埋め込みが完全に特徴づけられ、異なる $\alpha$-シェアレットシステム間でのスパarsity特性の転送が可能になる。