[論文レビュー] Analytic and asymptotic properties of multivariate generalized Linnik's probability densities

Sungbin Lim, Lee-Peng Teo|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2009

Statistical Distribution Estimation and Applications参考文献 47被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、特徴関数が $ \varphi_{\alpha,\nu,n}(\mathbf{t}) = (1 + \|\mathbf{t}\|^\alpha)^{-\nu} $ である多変量一般化リニク確率密度 $ p_{\alpha,\nu,n}(\mathbf{x}) $ の解析的および漸近的性質を調査する。$ \|\mathbf{x}\| \to 0 $ および $ \|\mathbf{x}\| \to \infty $ の場合における $ p_{\alpha,\nu,n}(\mathbf{x}) $ の積分表現と漸近展開を導出し、特にリウヴィル数に関連する $ (0,2) $ の稠密部分集合に属する $ \alpha $ に対して、密度が整関数で表現可能である条件を確立する。

ABSTRACT

This paper studies the properties of the probability density function $p_{α,ν, n}(\mathbf{x})$ of the $n$-variate generalized Linnik distribution whose characteristic function $φ_{α,ν,n}(\boldsymbol{t})$ is given by φ_{α,ν,n}(\boldsymbol{t})=\frac{1} {(1+\Vert\boldsymbol{t}\Vert^α)^ν}, α\in (0,2], ν>0, \boldsymbol{t}\in \mathbb{R}^n, where $\Vert\boldsymbol{t}\Vert$ is the Euclidean norm of $\boldsymbol{t}\in\mathbb{R}^n$. Integral representations of $p_{α,ν, n}(\mathbf{x})$ are obtained and used to derive the asymptotic expansions of $p_{α,ν, n}(\mathbf{x})$ when $\Vert\mathbf{x}\Vert o 0$ and $\Vert\mathbf{x}\Vert o \infty$ respectively. It is shown that under certain conditions which are arithmetic in nature, $p_{α,ν, n}(\mathbf{x})$ can be represented in terms of entire functions.

研究の動機と目的

• 多変量一般化リニク確率密度 $ p_{\alpha,\nu,n}(\mathbf{x}) $ の解析的および漸近的挙動を、特徴関数 $ (1 + \|\mathbf{t}\|^\alpha)^{-\nu} $ を用いて研究すること。
• 漸近的解析に用いるため、$ p_{\alpha,\nu,n}(\mathbf{x}) $ の積分表現を導出すること。
• $ \|\mathbf{x}\| \to 0 $ および $ \|\mathbf{x}\| \to \infty $ の場合における $ p_{\alpha,\nu,n}(\mathbf{x}) $ の漸近的挙動を特定すること。
• $ \alpha $ に関する数論的条件（特にディオファントス近似およびリウヴィル数）と関連して、$ p_{\alpha,\nu,n}(\mathbf{x}) $ が整関数として表現可能である条件を同定すること。
• $ \alpha $ の級数表現の収束性と、特に $ \alpha\nu $ が有理数および $ (2f+1) $ 進展開の和である場合の $ \alpha $ の数論的性質との関係を確立すること。

提案手法

• 逆フーリエ変換技術および修正ベッセル関数の恒等式を用いて、$ p_{\alpha,\nu,n}(\mathbf{x}) $ の積分表現を導出する。
• 積分表現に対する漸近的解析を適用し、$ \|\mathbf{x}\| \to 0 $ および $ \|\mathbf{x}\| \to \infty $ の場合における $ p_{\alpha,\nu,n}(\mathbf{x}) $ の挙動を導出する。
• 双対分布関係を用いる：$ \nu > n/\alpha $ のとき、$ p_{\alpha,\nu,n}(\mathbf{x})/p_{\alpha,\nu,n}(\mathbf{0}) $ は一般化コーシー分布の特徴関数である。
• $ \alpha $ に対して系列表現が発散する集合 $ \Omega $, $ \Lambda $, および $ E \subset (0,2) $ を導入し、その特徴を定義する。
• $ \alpha\nu $ の $ (2f+1) $ 進展開に基づいて、$ l_k $, $ j_k $ の列を構成し、係数 $ A_{1,l_k} $, $ A_{2,j_k} $ の発散を示す。
• スターリングの公式および正弦関数の三角不等式を用いて、級数内の項の成長を推定し、$ z \neq 0 $ のときの発散を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多変量一般化リニク密度 $ p_{\alpha,\nu,n}(\mathbf{x}) $ は、$ \|\mathbf{x}\| \to 0 $ のときどのように漸近的に振る舞うか？
• RQ2 $ \|\mathbf{x}\| \to \infty $ のとき、$ p_{\alpha,\nu,n}(\mathbf{x}) $ の漸近的挙動は何か？また、$ \alpha $, $ \nu $, $ n $ にどのように依存するか？
• RQ3 $ \alpha $ に対してどのような数論的条件が、$ p_{\alpha,\nu,n}(\mathbf{x}) $ が整関数として表現可能であるかを満たすか？
• RQ4 $ p_{\alpha,\nu,n}(\mathbf{x}) $ の級数表現は、すべての $ \mathbf{x} $ に対して収束するか？それとも、発散する $ \alpha $ の値が存在するか？
• RQ5 リウヴィル型の数および $ (2f+1) $ 進展開は、密度の解析的構造を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• 密度 $ p_{\alpha,\nu,n}(\mathbf{x}) $ は、特徴関数 $ (1 + \|\mathbf{t}\|^\alpha)^{-\nu} $ の逆フーリエ変換から得られる積分表現を有する。
• $ \|\mathbf{x}\| \to 0 $ のとき、密度は $ \|\mathbf{x}\| $ のべき関数として振る舞い、主要項は $ \alpha $, $ \nu $, $ n $ に依存する。
• $ \|\mathbf{x}\| \to \infty $ のとき、密度は $ \|\mathbf{x}\|^{-\alpha\nu - n} $ のように減少し、重い尾部の性質を示す。
• $ \alpha \in E $ のとき、$ E \subset (0,2) $ は $ (2f+1) $ 進展開および有理数近似に基づいて定義される稠密部分集合であり、すべての $ \mathbf{x} \neq \mathbf{0} $ に対して $ p_{\alpha,\nu,n}(\mathbf{x}) $ の級数表現は発散する。
• $ k \to \infty $ のとき、級数展開における係数 $ A_{1,l_k} $ および $ A_{2,j_k} $ は無限大に発散するため、$ \alpha \in E $ のとき $ z \neq 0 $ で級数は発散する。
• 本稿は、$ E $ が $ (0,2) $ において稠密であるにもかかわらず、級数係数の発散のため、$ \alpha \in E $ のとき $ p_{\alpha,\nu,n}(\mathbf{x}) $ は整関数として表現できないことを確立した。