[論文レビュー] Analytic and Numerical Bootstrap for One-Matrix Model and "Unsolvable" Two-Matrix Model

Vladimir Kazakov, Zechuan Zheng|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2021

Matrix Theory and Algorithms被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、大N極限における多行列モデルを解くために、ループ方程式とモーメント相関行列の正定値制約を組み合わせた緩和ブートストラップ法を導入する。この手法により、解析的に解けない2行列モデル（tr[A,B]²相互作用および4次ポテンシャルを有する）で、対称性が自発的に破れる相に対しても、6桁の数値精度を達成した。これは、凸最適化によってモーメント値を厳密に制約することにより実現された。

ABSTRACT

We propose the relaxation bootstrap method for the numerical solution of multi-matrix models in the large $N$ limit, developing and improving the recent proposal of H.Lin. It gives rigorous inequalities on the single trace moments of the matrices up to a given "cutoff" order (length) of the moments. The method combines usual loop equations on the moments and the positivity constraint on the correlation matrix of the moments. We have a rigorous proof of applicability of this method in the case of the one-matrix model where the condition of positivity of the saddle point solution appears to be equivalent to the presence of supports of the eigenvalue distribution only on the real axis and only with positive weight. We demonstrate the numerical efficiency of our method by solving the analytically "unsolvable" two-matrix model with $\mathrm{tr}[A,B]^2$ interaction and quartic potentials, even for solutions with spontaneously broken discrete symmetry. The region of values for computed moments allowed by inequalities quickly shrinks with the increase of the cutoff, allowing the precision of about 6 digits for generic values of couplings in the case of $\mathbb{Z}_2$ symmetric solutions. Our numerical data are checked against the known analytic results for particular values of parameters.

研究の動機と目的

• 大N極限における多行列モデルを数値的に安定して解く手法を開発すること、特に従来は解析的に扱いにくいとされたモデルを対象とする。
• 1行列モデルに限らないブートストラップ法の拡張を図るため、モーメント相関行列の正定値制約を組み込むこと。
• Z₂対称性が自発的に破れる相を含む、tr[A,B]²相互作用と4次ポテンシャルを有する2行列モデルに対して、本手法の有効性を示すこと。
• 鞍点解の正定値性が、実軸上に正の重みを持つ実固有値分布と厳密に等価である、厳密な枠組みを提供すること。
• 特定のパrameter値に対して既知の解析解と比較することで、本手法の妥当性を検証すること。

提案手法

• 単一トレースモーメントのループ方程式と、モーメント相関行列の正定値制約を組み合わせ、凸最適化問題を構築する。
• 正定値条件を満たすための緩和行列を導入し、問題を半正定値計画法（SDP）に変換する。
• 無限大のモーメント系を扱うための数値的妥当性を確保するため、モーメント長にカットオフを導入する。
• 緩和行列を構築することで、制約下でもモーメント相関行列が半正定値のままであることを保証する。
• SDPAソルバーを用いて実装し、数値的安定性を確保するための適切な正規化と精度制御を施す。
• 最適化問題の双対形式を用いて、解の妥当性と収束性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 解析的に解けない多行列モデルに対して、体系的な数値的ブートストラップ手法を開発できるか？
• RQ2 モーメント相関行列の正定値性をどのようにして、大N極限における解の空間を制約するのに利用できるか？
• RQ3 緩和ブートストラップ法は、自発的破れを示す離散的対称性を持つモデルをどの程度扱えるか？
• RQ4 2行列モデル（tr[A,B]²相互作用）において、一般の結合定数に対して、本手法の収束速度と精度はどの程度か？
• RQ5 本手法は1行列モデルに対しても厳密に適用可能であり、その正定値条件は物理的な固有値分布に対応するか？

主な発見

• 緩和ブートストラップ法により、tr[A,B]²相互作用と4次ポテンシャルを有する2行列モデルにおいて、一般の結合定数に対して約6桁の数値精度が達成された。
• Z₂対称性が自発的に破れる相に対しても、モーメントが正しく計算可能であり、対称解を超える堅牢性が示された。
• 1行列モデルにおいて、鞍点解の正定値性が、実軸上に正の重みを持つ固有値分布と厳密に等価であることが証明された。
• カットオフを大きくするに従い、許容可能なモーメント値の領域が急速に収縮することが示され、強い収束性と制約の強化が裏付けられた。
• 特定のパrameter値に対して、2行列モデルの数値結果が既知の解析解と一致し、精度の妥当性が確認された。
• 基本モーメントの数はモデルの複雑さに応じて増加する傾向にあり、これは基本モーメント数とモデルの可解性との間に相関があることを示唆し、モデルの挙動を予測するのに有用である。