[論文レビュー] Analytic and Numerical Study of Navier-Stokes Loop Equation in Turbulence

Alexander Migdal|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2019

Experimental and Theoretical Physics Studies被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、乱流におけるナビエ＝ストークスのループ方程式の解析的・数値的枠組みを構築し、任意の非平面的ループで囲まれる最小曲面における渦度分布 Ω(r) について、2次積分方程式を導出する。主な解は、最小曲面上のスケール不変な渦度場に対応するが、粘性はモーメント ⟨Γᵖ⟩ と ⟨Γᵖ⁻¹⟩ を混合させる一次補正を導入し、時間反転対称性を破り、数値実験で観測されるバイフラクタル的挙動に類似する。

ABSTRACT

We developed analytic approach to the non-planar loop equation, which we derived in previous papers \\cite{M19a},\\cite{M19b},\\cite{M19c}. We found quadratic integral equation for the vorticity distribution $\\Omega(r)$ we introduced on a minimal surface. There are no corrections to the minimal surface though: it is still defined by mean external curvature equal to zero, for arbitrary non-planar loop. We also analyzed the loop equations with viscosity term in Navier-Stokes equations. This term creates boundary condition for $\\Omega(r\\in C)$. The leading viscosity correction term mixes the moments $\\left< \\Gamma^p \ ight>$ with $\\left< \\Gamma^{p-1} \ ight>$ resembling the bi-fractal behavior observed in \\cite{S19} and explicitly breaking the time reversal symmetry. We also develop numerical approach to the loop equation with arbitrary curved loop and present \\Mathematica notebook building triangulated minimal surface and then numerically solving these equations. As a result we obtain predictions for future numerical experiments which will compute vorticity distribution along the loop.

研究の動機と目的

• 非平面的ループ方程式を、乱流循環確率密度関数の尾部の文脈で導出し、解くこと。
• ループで囲まれる最小曲面と、循環を保存する渦度分布 Ω(r) の間の関係を確立すること。
• ループ方程式に対する粘性の一次補正を分析し、循環確率密度関数のモーメントに与える影響を評価すること。
• Mathematica® を用いた三角形分割された最小曲面を用いた数値的手法を開発し、任意のループに対する Ω(r) を計算し、渦度分布を予測すること。
• 場の理論におけるWKB近似に類似した、ループ空間におけるインスタントン解としての乱流における面積則の理論的基盤を提供すること。

提案手法

• ケルビン＝ヘルムホルツ則およびビオ＝サヴァール則からループ方程式を導出し、循環確率密度関数をループと渦度場の汎関数として表現する。
• 最小曲面上の点 r における渦度場 Ω(r) を、法線ベクトル n(r) に沿わせ、オイラーのループ方程式から導出された積分方程式 (94) を満たすように定義する。
• 確率密度関数を exp(−S(A_C, Γ)) の形にWKB近似で取り扱い、S を作用とみなして、三角形分割された最小曲面上で Ω(r) を解く。
• Mathematica® を用いてループ方程式を三角形分割された曲面上で離散化し、最小曲面を構築し、最小化により Ω(r) を解く。
• 粘性補正を、確率密度関数を ν の一次まで展開することで分析し、Ω₁(r) についての線形積分方程式 (109) を得るとともに、モーメント ⟨Γᵖ⟩ と ⟨Γᵖ⁻¹⟩ の混合を明らかにする。
• 座標スケーリング下でも幾何的面積 A_C が保存されるように Ω(r) を正規化することで、解のスケール不変性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最小曲面上の渦度分布 Ω(r) は、発達した乱流における循環確率密度関数の尾部をどのように決定するか？
• RQ2 任意の非平面的ループに対して、ループ方程式を満たす渦度場 Ω(r) の解析的形は何か？
• RQ3 粘性の取り入れ方は、ループ方程式をどのように変化させ、循環の統計的モーメントに影響を与えるか？
• RQ4 非平面的ループに対して、最小曲面解が確率密度関数の尾部の漸近的近似としてどれほど有効に保たれるか？
• RQ5 ナビエ＝ストークス方程式のループ空間インスタントン解は、三角形分割された最小曲面を用いて数値的に実現可能か？

主な発見

• 最小曲面上の渦度分布 Ω(r) は、2次積分方程式 (94) を満たし、曲面の均一スケーリングに対してスケール不変な解である。
• 最小曲面は平均曲率がゼロで定義され、渦度場は曲面の法線に比例し、Ω(r) は曲面全体で負から正へ変化し、中心でピークに達する。
• 粘性補正により、モーメント ⟨Γᵖ⟩ と ⟨Γᵖ⁻¹⟩ を混合させる線形項が導入され、時間反転対称性が明示的に破られ、数値実験で観測されるバイフラクタル的スケーリングに類似する。
• 確率密度関数の一次補正は P(C,Γ) ≈ exp(−S) × (1 + (ν/r₀)V(A_C,Γ)∫dσ(r)Ω₁(r)) として得られ、V および Ω₁ は線形積分方程式 (109) で定まる。
• 理論により、任意のループ C に対して、Ω(r)n(r) に比例する計算可能な平均渦度場が予測可能であり、Mathematica® を用いた数値的三角形分割により明示的な解が得られる。
• 本フレームワークは、すべてのステップが離散化可能で、三角形分割された最小曲面上で数値的に解けるため、将来的な数値実験におけるループに沿った渦度分布の予測が可能になる。