[論文レビュー] Analytic and Probabilistic Problems in Discrete Geometry

Gergely Ambrus|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2019

Point processes and geometric inequalities参考文献 40被引用数 19

ひとこと要約

本学位論文は、解析的・確率的・組合せ的手法を用いて、離散幾何学における2つの中心的問題を解決する。2次元における強い極化問題は複素解析を用いて証明され、テンソル化とジョン型定理を用いて高次元へ拡張され、正規直交系が唯一の極値的配置であることが示された。確率的幾何学においては、ランダムな三角形内のn個のi.i.d.一様乱点における最長の凸鎖の期待長さが漸近的に $\alpha n^{1/3}$ であることが確立され、$\alpha \approx 3$ であり、強い集中性および極限形状に関する結果が得られた。

ABSTRACT

The thesis concentrates on two problems in discrete geometry, whose solutions are obtained by analytic, probabilistic and combinatoric tools. The first chapter deals with the strong polarization problem. This states that for any sequence $u_1,\dots, u_n$ of norm 1 vectors in a real Hilbert space $\mathscr H$, there exists a unit vector $v \in \mathscr H$, such that $$ \sum \frac{1}{\langle u_i, v angle^2} \leq n^2. $$ The 2-dimensional case is proved by complex analytic methods. For the higher dimensional extremal cases, we prove a tensorisation result that is similar to F. John's theorem about characterisation of ellipsoids of maximal volume. From this, we deduce that the only full dimensional locally extremal system is the orthonormal system. We also obtain the same result for the weaker, original polarization problem. The second chapter investigates a problem in probabilistic geometry. Take $n$ independent, uniform random points in a triangle $T$. Convex chains between two fixed vertices of $T$ are defined naturally. Let $L_n$ denote the maximal size of a convex chain. We prove that the expectation of $L_n$ is asymptotically $α\, n^{1/3}$, where $α$ is a constant between 1.5 and 3.5 -- we conjecture that the correct value is 3. We also prove strong concentration results for $L_n$, which, in turn, imply a limit shape result for the longest convex chains.

研究の動機と目的

• 解析的・幾何的道具を用いて、実ヒルベルト空間における強い極化問題を解決すること。
• 極化問題における極値的ベクトル系を同定し、正規直交系が唯一のフルディメンジョンの極値的配置であることを示すこと。
• n個のi.i.d.一様乱点を含む三角形における最長凸鎖の漸近的挙動を分析すること。
• 最長凸鎖の長さに関する強い集中性および極限形状の結果を確立すること。
• 漸近的関係 $\mathbb{E}[L_n] \sim \alpha n^{1/3}$ における定数 $\alpha$ の数値的調査を行い、$\alpha = 3$ を予想すること。

提案手法

• 2次元における強い極化問題の証明に、特に等振動関数を用いた複素解析的手法を用いる。
• F.ジョンの定理に類似したテンソル化の議論を用いて、結果を高次元へ拡張する。
• 問題をグラム行列の逆固有ベクトルに関連付けるために線形代数的変換を用いる。
• 元の極化予想と強い極化予想の差の幾何的解釈を導出する。
• 確率的集中不等式を適用して、$L_n$ がその平均のまわりにきわめて集中していることを示す。
• 空間的および長さに基づくプルーニングを用いた $O(n^2)$ アルゴリズムを用いて、ランダム点集合における最長凸鎖をシミュレートする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルベルト空間内の単位ベクトル $u_i$ と単位ベクトル $v$ に対して、$\sum_{i=1}^n \frac{1}{\langle u_i, v \rangle^2}$ の最良の上限は何か？
• RQ2 極化問題における極値的状態を達成するベクトル系は何か？正規直交系は唯一のフルディメンジョンの極値的配置であるか？
• RQ3 n個のi.i.d.一様乱点を含む三角形の2頂点間における最長凸鎖の期待長さ $\mathbb{E}[L_n]$ の漸近的成長率は何か？
• RQ4 $L_n$ はその平均のまわりにどれほど集中しているか？また、最長凸鎖には極限形状が現れるか？
• RQ5 漸近的関係 $\mathbb{E}[L_n] \sim \alpha n^{1/3}$ における定数 $\alpha$ の数値的値は何か？また、$\alpha = 3$ であるか？

主な発見

• 2次元における強い極化問題は、等振動関数を用いた複素解析的手法により証明された。
• 高次元において、強い極化問題における唯一のフルディメンジョンの局所的極値系は正規直交系である。
• 最長凸鎖の期待長さは $\mathbb{E}[L_n] \sim \alpha n^{1/3}$ を満たし、$\alpha \in [1.5, 3.5]$ であり、数値的証拠は $\alpha = 3$ を支持する。
• 確率変数 $L_n$ は強い集中性を示し、$\gamma \geq 1$ に対して $\mathbb{P}(|L_n - \mathbb{E}[L_n]| > b) < n^{-\gamma^2/14}$ が成り立つ。
• シミュレーションにより、$n^{-1/3}\mathbb{E}[L_n]$ が $n$ と共に増加することが確認され、$n = 10^6$ のとき $2.976$ に達しており、$\alpha \approx 3$ を支持する。
• $L_n$ の分布は非常に集中しており、$n = 10^6$ でも標準偏差が小さく、最長の鎖は幅 $O(n^{-1/3})$ の狭い近傍に位置している。