[論文レビュー] Analytic Approach to Perturbative QCD and Renormalization Scheme Dependence

I. L. Solovtsov, D. V. Shirkov|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 1997

Particle physics theoretical and experimental studies被引用数 45

ひとこと要約

本稿では、$Q^2$-解析的性を強制することで、走る結合定数における物理的でない特異性を排除する解析的アプローチ（AA）を、摂動的QCDに提案する。これにより、摂動的計算における再結合化スキーム（RS）依存性が低減される。アドラー関数を解析接続し、RS不変な$R(s)$補正を構築することで、AAは低エネルギー領域全域で安定でスキームに依存しない結果をもたらし、$R_{\text{AA}}(s)$は$\overline{\text{MS}}$スキームと't Hooftスキームの間で最小限の変動を示す。

ABSTRACT

We further develop the approach recently used to construct an analytic ghost-free model for the QCD running coupling based on the requirement of the $Q^2$-analyticity and apply it to the process of $e^+e^-$ annihilation into hadrons to study the renormalization scheme dependence of the $R(s)$ cross-section ratio. \par By transforming the relevant QCD corrections up to the three-loop level into the "analytized" form we show that the $R_{AA}(s)$ expression thus obtained is remarkably stable (as compared to the conventional perturbative approach) with respect to the renormalization scheme dependence for the whole low-energy region.

研究の動機と目的

• 摂動的計算における物理的観測量の理論的曖昧性を、再結合化スキーム（RS）依存性に起因するものとして解消すること。
• 走る結合定数の解析接続を用いて、$e^+e^-$散乱における$R(s)$断面積比のスキームに依存しないアプローチを構築すること。
• 解析的アプローチ（AA）が、特に赤外（IR）領域でRSの変化に対してQCD補正$r(s)$を安定化させるかをテストすること。
• AAの結果を従来の摂動理論（PT）と比較し、スキーム変更に対して改善された安定性を示すこと。

提案手法

• 因果性とゴースト極の不在を保証するため、スペクトル表現$ a_{\text{an}}(Q^2) = \frac{1}{\pi} \int_0^\infty \frac{\rho(\sigma)}{\sigma + Q^2 - i\epsilon} d\sigma $を用いて、解析的走る結合定数$\bar{\alpha}_{\text{an}}(Q^2)$を構築する。
• アドラー関数$d(-\sigma)$の虚部として、有効スペクトル関数$\varrho^{\text{eff}}(\sigma)$を定義する。ここで$d(Q^2)$は、負の実軸にカットを持つ複素$Q^2$平面で正則である。
• 解析的性を保つために、$r(s) = -\frac{1}{2\pi i} \int_{s-i\epsilon}^{s+i\epsilon} \frac{d\sigma}{\sigma} d(-\sigma)$という逆関係を用い、解析的$d(Q^2)$を時系列の$r(s)$にマッピングする。
• 良好な振る舞いを示す再結合化スキームを選択するため、$C_R \leq 2$のキャンセルインデックス基準を適用する。これにより、$\overline{\text{MS}}$スキームと't Hooftスキーム（スキームA）を比較対象とする。
• 複素平面における再結合化群方程式を数値的に解き、$\ln(Q^2/\Lambda^2) \to \ln(\sigma/\Lambda^2) - i\pi$と置き換えることで、スペクトル関数の$a(-\sigma)$を求める。
• 解析的接続された結合定数を$r(s)$展開に代入することで、AA補正$R_{\text{AA}}(s)$を構築し、自己一貫性のある解析的性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 解析的アプローチ（AA）は、高エネルギー領域での標準的摂動理論との整合性を保ちつつ、QCDの走る結合定数における物理的でない特異性を排除できるか？
• RQ2 解析的アプローチは、$e^+e^-$散乱における$R(s)$断面積比の再結合化スキーム依存性をどのように低減するか？
• RQ3 キャンセルインデックス$C_R \approx 2$を有する異なる再結合化スキーム間で、$R_{\text{AA}}(s)$の結果は安定しているか？
• RQ4 非摂動的寄与が、従来の摂動理論と比較して、解析的アプローチにおけるスケールパラメータ$\Lambda$に与える影響は何か？

主な発見

• 解析的アプローチにより、$R_{\text{AA}}(s)$は低エネルギー領域全域で顕著に安定しており、$C_R \approx 2$を有する$\overline{\text{MS}}$スキームと't Hooftスキームの間で最小限の変動を示す。
• AA補正$R(s)$は、従来の摂動理論とは異なり、実質的にスキーム依存性を示さない。
• 非摂動的寄与のおかげで、$\Lambda_{\text{AA}}$は$\Lambda_{\text{PT}}$の約2倍に相当するが、物理的挙動に変化はなく、スケールがずれているにとどまる。
• 3ループの解析的結合定数は赤外領域で強く安定しており、2ループと3ループの曲線の差が小さく、高次の補正に対しても頑健であることが示された。
• スペクトル表現により、正しい解析的性質が保証される：$a_{\text{an}}(Q^2)$は複素$Q^2$平面で正則であり、負の実軸にカットを持つため、ゴースト極が排除される。
• AA法は、アドラー関数の解析的接続を用いることで、従来の摂動的アプローチに見られる物理的でない特異性を避けることにより、スキームに依存しない$R(s)$補正を成功裏に構築した。