[論文レビュー] Analytic Compactifications of C^2 part I - curvettes at infinity

Pinaki Mondal|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2011

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、無限遠における曲線の接する曲線（curvettes）の解析を通じて、ℂ² の正則解析的コンパクト化を研究する。無限遠における除法的離散的賦値がコンパクト化に対応するための完全な特徴付けを与え、そのようなコンパクト化が存在するための必要十分条件が、Favre と Jonsson (2004) が定義した意味での正の歪度（positively skewed）であること、すなわち α(ν) > 0 であることを示す。本研究は、特異点および無限遠における曲線の配置に関する先行研究を一般化・改善し、多項式自己同型と ℙ² が滑らかなコンパクト化として一意に定まることに関する古典的定理の新たな証明を提示する。

ABSTRACT

We study normal analytic compactifications of C^2 and describe their singularities and configuration of curves at infinity, in particular improving and generalizing results of (Brenton, Math. Ann. 206:303--310, 1973). As a by product we give new proofs of Jung's theorem on polynomial automorphisms of C^2 and Remmert and Van de Ven's result that CP^2 is the only smooth analytic compactification of C^2 for which the curve at infinity is irreducible. We also give a complete answer to the question of existence of compactifications of C^2 with prescribed divisorial valuations at infinity. In particular, we show that a valuation on C(x,y) centered at infinity determines a compactification of C^2 iff it is "positively skewed" in the sense of (Favre and Jonsson, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 40(2):309--349, 2007).

研究の動機と目的

• ℂ² の正則解析的コンパクト化を研究し、その特異点および無限遠における曲線の配置を記述すること。
• Breteille (1973) が得た無限遠における曲線の構造および特異点に関する結果を一般化・改善すること。
• ℂ² における多項式自己同型に関する Jung の定理および Remmert–Van de Ven が示した ℙ² が無限遠に非可約曲線を持つ唯一の滑らかなコンパクト化であるという結果の新たな証明を与えること。
• 無限遠における指定された除法的賦値をもつコンパクト化の存在問題に完全な答えを与えること。

提案手法

• ℙ² へのビマルホモルフィック写像の下でのパラメトライゼーションを通じて、無限遠における曲線（curvettes）—すなわち無限遠曲線に横断的に交わる曲線の局所的形—を解析する。
• 特異点の解消における双対グラフを用いて、無限遠における曲線の配置およびその特異点を研究する。
• Grauert の基準および Cramer の法則を用い、賦値データから得られる行列の交差形式と行列式を関連付ける。
• 除法的賦値のキーポリノミアルおよび一般化されたキーフォームを用いて歪度を計算し、賦値がコンパクト化を定義するかどうかを特定する。
• 一般化された降下的 Puiseux 級数の形式的 Puiseux 対 (qᵢ, pᵢ) を用いて、一般化されたキーフォームの賦値および歪度を計算する。
• 特に Favre と Jonsson (2004) が提唱した「歪度」の概念を用いた、無限遠に中心を持つ離散的賦値の理論を応用し、有効なコンパクト化を特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℂ(x,y) 上の除法的離散的賦値 ν で無限遠に中心を持つものについて、それが ℂ² の正則解析的コンパクト化を定める条件は何か？
• RQ2 ℂ² の正則解析的コンパクト化における、無限遠における曲線の可能な配置および特異点は何か？
• RQ3 コンパクト化の特異点と無限遠における曲線の特異点は、無限遠における一般曲線の特異点解消とどのように関係するか？
• RQ4 指定された無限遠における曲線の配置を持つコンパクト化が存在するための条件は何か？
• RQ5 賦値の歪度 α(ν) は、無限遠における曲線に沿った零化の順序としてのコンパクト化の存在性とどのように関係するか？

主な発見

• 与えられた除法的離散的賦値 ν が無限遠に中心を持つ場合、ℂ² の正則解析的コンパクト化が存在するための必要十分条件は、ν が正の歪度であること、すなわち α(ν) > 0 であることである。ここで α(ν) は ν の歪度を表す。
• ℂ² のコンパクト化 X̄ の特異点の数は、無限遠曲線の既約成分の数 k に対して、高々 2k 個である。最小コンパクト化の場合、この上限は k+1 に厳しくなる。
• 最小コンパクト化では、すべての無限遠曲線が唯一の特異点 P でのみ交わるような点 P が高々一つ存在し、P を除いたすべての成分は ℂ に同型である。
• 無限遠曲線の各既約成分は高々一つの特異点をもち、非交差特異点（non-intersection singularity）を持つ場合、全体の曲線配置は収縮可能であり、そのコンパクト化は最小でない。
• 無限遠に中心を持つ除法的賦値 ν の歪度 α(ν) は、α(ν) = -ν(gₙu(x,y,ξ))/p² で与えられる。ここで gₙu は一般化されたキーフォーム、p は y に関する次数である。
• ν の一般化された降下的 Puiseux 級数の形式的 Puiseux 対 (qᵢ, pᵢ) から、α(ν) を明示的に計算できる。この式は、pᵢ の積および qᵢ/pᵢ の有理関数の組み合わせを含む。