[論文レビュー] Analytic Constructions of General n-Qubit Controlled Gates

Yang Liu, Gui‐Lu Long+1 more|ArXiv.org|Aug 24, 2007

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、1キュービットゲートとCNOTゲートのみを用いて、一般のnキュービット制御U（Cⁿ(U)）量子ゲートを構築する2つの解析的ゲート分解方式を提示する。1つは指数的複雑性、もう1つは多項式的複雑性を持つ。主な貢献は、ゲート数を最小化し、数値誤差を回避する明示的かつ閉形式の回路分解であり、n > 8の範囲では多項式的スキームが指数的スキームを上回る性能を示す。

ABSTRACT

In this Letter, we present two analytic expressions that most generally simulate $n$-qubit controlled-$U$ gates with standard one-qubit gates and CNOT gates using exponential and polynomial complexity respectively. Explicit circuits and general expressions of decomposition are derived. The exact numbers of basic operations in these two schemes are given using gate counting technique.

研究の動機と目的

• 数値最適化に依存せずに、任意のnキュービット制御Uゲートを一般かつ解析的に構築するための手法を提供すること。
• Cⁿ(U)ゲート実装における基本ゲート（CNOTと1キュービットゲート）の数を最小化することで、量子回路の複雑さを低減すること。
• スケーラブルで効率的な量子回路設計を実現するため、複雑度が指数的および多項式的である2つの異なる分解スキームを開発すること。
• 反復的または数値的手法によるゲート構築を避けることで、誤差の蓄積を防ぎ、Cⁿ(U)ゲートの誤差のない正確な合成を可能にすること。
• 解析的に導出された再利用可能なゲート分解を提供することで、量子プログラミング言語の開発を支援すること。

提案手法

• qubits m, m+1, m+2, n のためのゲートアレイブロック Aᵐ と、qubits i, j, n のための Bⁱⱼ を導入し、基本部の位相エラーと制御エラーを是正するための再帰的で交互なシーケンスに用いる。
• 再帰的構築法を採用：Cⁿ(U) = C̃ⁿ⁻¹(U) × (Aⁿ⁻³Bⁿ⁻⁴ₙ₋₁Aⁿ⁻³Bⁿ⁻³ₙ₋₁…)，ここで C̃ⁿ⁻¹(U) は修正された (n−1)-キュービット制御ゲートネットワークである。
• Bⁱⱼブロックのインデックスに (n−4)-ビットのグレイコード列を用い、隣接する制御状態が1ビットのみ異なるようにすることで、体系的な位相補正を可能にする。
• 同値モジュロ位相シフト（CMPS）法を適用し、CNOTと1キュービットゲートのみでトフォリゲートをシミュレートし、1つのトフォリゲートあたりのゲート数を14から7に削減する。
• 一般の分解公式を導出：Cⁿ(U) = C̃⁴(V₁) × ∏ₖ₌₇ⁿ [T⁽¹,…,k−₂⁾ₖ₋₁ Cᵏ⁻¹ₙ(Vₙ₋ₖ₊₁†) T⁽¹,…,k−₂⁾ₖ₋₁ Cᵏ⁻¹ₙ(Vₙ₋ₖ₊₁)]，明示的なゲートシーケンスを提供する。
• ゲートマージと最適化を実行し、最終回路におけるCNOTおよび1キュービットゲートの正確な数を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の n ≥ 5 に対して、nキュービット制御Uゲートの一般的かつ解析的な分解を導出可能か？
• RQ2 Cⁿ(U)回路の構築において、指数的複雑度と多項式的複雑度の間で最適なトレードオフは何か？
• RQ3 CNOTと1キュービットゲートのみを用いて、トフォリゲートを効率的にシミュレートし、ゲート数を最小化することは可能か？
• RQ4 グレイコードでインデックス付けされたAおよびBブロックのシーケンスを用いて、多制御ゲートにおける位相補正を体系的に行うことは可能か？
• RQ5 異なるn値に対して、Cⁿ(U)回路に必要なCNOTおよび1キュービットゲートの正確な数は何か？

主な発見

• 指数的複雑度スキームは n ≤ 8 の範囲で最適であり、この範囲では多項式スキームよりも総ゲート数が少ない。
• n > 8 の範囲では多項式スキームが指数的スキームを上回り、大規模回路において顕著なゲート数削減が達成される。
• 最適化された最終回路では、任意の n ≥ 7 に対して、CNOTゲートが 24n² − 212n + 540 個、1キュービットゲートが 32n² − 288n + 739 個を正確に必要とする。
• CMPS法の使用により、トフォリゲートのシミュレーションが14から7の基本操作に削減され、大幅な効率向上が達成された。
• 分解は完全に解析的かつ正確であり、数値的ゲート合成による誤差蓄積を回避する。
• 一般式 Cⁿ(U) = C̃⁴(V₁) × ∏ₖ₌₇ⁿ [T⁽¹,…,k−₂⁾ₖ₋₁ Cᵏ⁻¹ₙ(Vₙ₋ₖ₊₁†) T⁽¹,…,k−₂⁾ₖ₋₁ Cᵏ⁻¹ₙ(Vₙ₋ₖ₊₁)] は、任意のnに対して再利用可能でスケーラブルな構築を提供する。