[論文レビュー] Analytic continuation of the Mellin moments of deep inelastic structure functions

A. V. Kotikov, V.N. Velizhanin|ArXiv.org|Jan 31, 2005

Mathematical functions and polynomials参考文献 2被引用数 45

ひとこと要約

本稿では、QCDにおける次々に次々に次の順序（NNLO）精度で、深く不均一な構造関数のミンスモーメントの解析接続を提示している。これは、より複雑なネストされた和を扱うために、以前の結果を拡張したものである。著者らは、正と負のインデックスを含む一般化された調和和の閉形式表現を導出し、任意の複素数 $ n $、特に $ n=1 $ などの臨界値を含めて、構造関数モーメントの正確な評価を可能にした。これは、和則と実験データのグローバルフィットに不可欠である。

ABSTRACT

We derive the analytic continuation of the Mellin moments of deep inelastic structure functions at the next-to-next-to-leading order accuracy.

研究の動機と目的

• QCDにおけるNNLO計算で必要なより複雑な構造にまで、$ S_{-a,b,c}(n) $ のような単純なケースを越えたネストされた調和和の解析接続を拡張すること。
• 任意の複素数 $ n $、非整数および負の値を含む、異常次元および係数関数の $ n $-空間表現を提供すること。
• 和則を $ n=1 $ で正確に計算可能とすること。これは、一部素粒子分布関数のテストとDISデータのグローバルフィットに不可欠である。
• $ x $-空間における直交多項式展開を用いて、構造関数をそのモーメントから再構成することを支援すること。
• 解析接続を用いて、$ \mathcal{N}=4 $ SYM理論におけるDGLAPとBFKLダイナミクスの比較を容易にすること。

提案手法

• 無限級数展開とゼータ関数正則化を用いて、ネストされた和 $ S_{\pm a,\pm b,\pm c,...}(n) $ の解析接続を導出する。
• ヒルベルトゼータ関数と一般化されたポリガンマ関数を用い、$ \Psi_{a,b,...}(n+1) $ の形で接続を表現し、複素数 $ n $ に対しても定義可能であるようにする。
• 分解 $ \overline{S}^{+}_{\pm a,\pm b,...}(n) = Z_{\pm a,\pm b,...} - \Psi_{\pm a,\pm b,...}(n+1) + \text{補正項} $ の適用。ここで $ Z $-値は定数であり、$ \Psi $-関数が解析性を担う。
• 符号が混合したインデックス（例：$ S_{a,-b,c}(n) $、$ S_{-a,b,-c}(n) $ や高次の組み合わせ）を、発散部と収束部に分離することで、系統的に取り扱う。
• 調和和の再帰関係と既知の恒等式を用い、MVV（Moch-Vermaseren-Vogt）表現に近い形で接続を表現する。
• 整合性の確認として、$ n=1 $ および偶数／奇数の整数モーメントにおいて、接続が既知の結果に還元されることを確認した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、NNLO QCD計算で見られるより複雑な構造にまで、ミンスモーメントの解析接続を単純なネストされた和から拡張できるか？
• RQ2 任意の複素数 $ n $、特に $ n=1 $ を含む、$ S_{a,-b,c}(n) $ や類似の和の解析的形は何か？これは和則に不可欠である。
• RQ3 異常次元の $ n $-空間表現を、偶数や奇数の整数に限らず、すべての複素数 $ n $ に対して有効にできるか？
• RQ4 ゼータ関数とポリガンマ関数を用いて、符号が混合したインデックスを持つネストされた和の系統的導出は可能か？
• RQ5 元のMVV表現の形を保ちつつ、収束性と解析性を確保する、正確な解析接続の構造は何か？

主な発見

• $ S_{-a,-b,...}(n) $ の解析接続は、$ \overline{S}_{-a,-b,...}^{+}(n) = Z_{-a,-b,...} - \Psi_{a,-b,...}(n+1) + Z_{-b,...} \bigl[ \Psi_a(n+1) - \Psi_{-a}(n+1) \bigr] $ で与えられ、複素数 $ n $ に対して有効である。
• $ S_{a,-b,...}(n) $ の接続は、$ \overline{S}_{a,-b,...}^{+}(n) = Z_{a,-b,...} - \Psi_{-a,-b,...}(n+1) + Z_{-b,...} \bigl[ \Psi_{-a}(n+1) - \Psi_a(n+1) \bigr] $ であり、$ n=1 $ での解析性を保証する。
• $ S_{a,-b,-c}(n) $ や $ S_{-a,-b,-c}(n) $ のような高次和の接続は、$ \Psi $-関数とゼータ定数を用いて導出され、式 (B11) から (B14) に明示的な表現が示されている。
• 結果は $ n=1 $ における既知の和則と整合しており、数値積分に依存せずに、$ F_2 $ および $ F_3 $ 構造関数モーメントの正確な評価が可能である。
• この方法は元のMVV表現の構造を保ち、グローバルフィットや $ n $-空間DGLAP方程式に基づく進化プログラムへの直接的利用を可能にする。
• 接続はすべての実数および複素数 $ n $ に対して有効であり、レッジ型漸近的挙動や $ \mathcal{N}=4 $ SYM理論への応用に適している。