[論文レビュー] Analytic functional calculus for two operators

V. G. Kurbatov, И. В. Курбатова+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2016

Matrix Theory and Algorithms参考文献 65被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、擬リソルベントを用いたコーシー積分を介して2つの作用素の解析的関数計算を構築し、シルベスター方程式の解、作用素微分方程式のインパulse応答、関数計算の微分の表現を可能にする。主な貢献は、スペクトル写像定理と変換子およびその微分の明示的積分公式であり、リソルベントに基づく構成により、古典的関数計算を有界でないおよび多価作用素へ拡張する。

ABSTRACT

Properties of the mappings \begin{align*} C&\mapsto\frac1{(2πi)^2}\int_{Γ_1}\int_{Γ_2}f(λ,μ)\,R_{1,\,λ}\,C\, R_{2,\,μ}\,dμ\,dλ, C&\mapsto\frac1{2πi}\int_Γg(λ)R_{1,\,λ}\,C\, R_{2,\,λ}\,dλ\end{align*} are discussed; here $R_{1,\,(\cdot)}$ and $R_{2,\,(\cdot)}$ are pseudo-resolvents, i.~e., resolvents of bounded, unbounded, or multivalued linear operators, and $f$ and $g$ are analytic functions. Several applications are considered: a representation of the impulse response of a second order linear differential equation with operator coefficients, a representation of the solution of the Sylvester equation, and an exploration of properties of the differential of the ordinary functional calculus.

研究の動機と目的

• 多項式から解析関数へ関数計算をコーシー積分を用いて拡張すること。
• ヒルベルト恒等式を満たす擬リソルベントを用いて、標準的リソルベントの代わりに用いることで、有界でないおよび多価線形作用素へ計算を一般化すること。
• シルベスター方程式の解および2階作用素微分方程式のインパulse応答の積分表現を提供すること。
• 変換子値関数の積分を用いて関数計算の微分およびそのスペクトルを特徴づけること。
• 2作用素関数計算におけるスペクトル写像定理を確立し、スペクトル的性質と整合性を保証すること。

提案手法

• 関数計算は二重輪郭積分により定義される：$ f(A,B)C = \frac{1}{(2\pi i)^2} \int_{\Gamma_1} \int_{\Gamma_2} f(\lambda,\mu) R_{1,\lambda} C R_{2,\mu} \, d\mu \, d\lambda $、ここで $ R_{1,\lambda} $ および $ R_{2,\mu} $ は擬リソルベントである。
• 標準的リソルベントの代わりに擬リソルベントが用いられ、有界でないおよび多価作用素へ一般化される。これらは $ R_\lambda - R_\mu = -(λ - \mu) R_\lambda R_\mu $ を満たす。
• 関数計算は二つの通常の関数計算のテンソル積 $ \varphi_1 \boxtimes \varphi_2 $ として構成され、代数的およびスペクトル的性質を保つ。
• 関数計算の微分はフレシェ微分を用いて導出され、明示的な積分公式が得られる：$ df^{-1}(\Delta B, B) = \frac{1}{(2\pi i)^2} \int_{\Gamma_1} \int_{\Gamma_2} \frac{1}{f^{[1]}(\lambda,\mu)} R_\lambda \Delta B R_\mu \, d\mu \, d\lambda $。
• 微分変換子のスペクトルは、非消滅条件のもとで $ \sigma[df^{-1}(\cdot,B)] = \bigcup \left\{ \frac{1}{f^{[1]}(\lambda,\mu)} : \lambda,\mu \in \sigma(A) \right\} $ であることが示される。
• 応用として、変換子 $ Q_{A,-B}(C) $ を用いたシルベスター方程式 $ AZ + ZB = C $ の解法、および作用素上の平方根および対数関数の微分の導出が含まれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 解析関数への関数計算の多項式からの拡張は、積分表現を用いてどのように可能になるか？
• RQ2 関数計算において標準的リソルベントの代わりに擬リソルベントを用いる場合に、何が保存されるか？
• RQ3 関数計算の微分はどのように明示的に計算され、そのスペクトルはどのように特徴づけられるか？
• RQ4 拡張されたテンソル積は、$ f(A,B) $ の異なる解釈（特に作用素 $ C: Y \to X $ 上の変換子としての解釈）を統一する役割を果たすか？
• RQ5 関数計算の積分表現は、シルベスター方程式や2階作用素微分方程式といった特定の方程式にどのように適用されるか？

主な発見

• 解析関数 $ f $ に対して、擬リソルベントを含む二重輪郭積分により関数計算 $ f(A,B) $ が適切に定義され、古典的多項式の場合を一般化する。
• 2作用素関数計算におけるスペクトル写像定理が成り立つ：$ \sigma[\varphi_1 \boxtimes \varphi_2] = \sigma(\varphi_1) \times \sigma(\varphi_2) $、これによりスペクトル理論と整合性が保証される。
• 逆関数計算の微分は $ df^{-1}(\Delta B, B) = \frac{1}{(2\pi i)^2} \int_{\Gamma_1} \int_{\Gamma_2} \frac{1}{f^{[1]}(\lambda,\mu)} R_\lambda \Delta B R_\mu \, d\mu \, d\lambda $ で与えられ、スペクトルは $ \sigma[df^{-1}(\cdot,B)] = \bigcup \left\{ \frac{1}{f^{[1]}(\lambda,\mu)} \right\} $ である。
• 平方根関数に対しては、微分が $ \sqrt{B} \cdot dv_{1/2}(\Delta B,B) + dv_{1/2}(\Delta B,B) \cdot \sqrt{B} = \Delta B $ を満たし、スペクトルは $ \left\{ \frac{1}{\lambda + \mu} : \lambda,\mu \in \sqrt{\sigma(B)} \right\} $ である。
• 対数関数に対しては、微分のスペクトルは $ \left\{ \frac{1}{\exp_1^{[1]}(\lambda,\mu)} : \lambda,\mu \in \ln(\sigma(B)) \right\} $ である。ただし、定義域が負の実軸を避ける条件を満たす必要がある。
• この計算はリッカティ方程式に適用可能であり、解の微分は連続的なシルベスター方程式を満たし、解は変換子 $ Q_{A+ZC, -B-CZ} $ を用いて表現される。