[論文レビュー] Analytic in an unit ball functions of bounded $L$-index in direction

Andriy Bandura, О. Б. Скасків|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2015

Holomorphic and Operator Theory参考文献 7被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、複素数空間 $\mathbb{C}^n$ 内の単位球 $\mathbb{B}_n$ で正則な関数に対する、有界 $L$-指数の方向に関する一般化を提示する。これは、整関数に関する先行研究を拡張するものであり、複素直線に沿った方向微分を用いて、有界 $L$-指数であるための必要十分条件を確立し、重み関数 $L(z)$ 及びその径方向微分を含む積分主要化を用いて鋭い成長推定を得る。得られた結果を偏微分方程式および単位球内での正則解の研究に応用する。

ABSTRACT

We propose a generalisation of analytic in a domain function of bounded index, which was introduced by J. G. Krishna and S. M. Shah \cite{krishna}. In fact, analytic in the unit ball function of bounded index by Krishna and Shah is an entire function. Our approach allows us to explore properties of analytic in the unit ball functions. We proved the necessary and sufficient conditions of bounded $L$-index in direction for analytic functions. As a result, they are applied to study partial differential equations and get sufficient conditions of bounded $L$-index in direction for analytic solutions. Finally, we estimated growth for these functions.

研究の動機と目的

• 整関数から単位球 $\mathbb{B}_n \subset \mathbb{C}^n$ 内で正則な関数へ、有界 $L$-指数の方向に関する概念を拡張し、従来のグローバル定義の制限を克服すること。
• 単位球内において与えられた方向 $\mathbf{b} \in \mathbb{C}^n$ に対して関数が有界 $L$-指数をもつための必要十分条件を確立すること。
• 重み関数 $L(z)$ 及びその径方向微分を含む積分主要化を用いて、このような関数の正確な成長推定を導出すること。
• 偏微分方程式の単位球内における正則解を研究する応用を行い、有界 $L$-指数をもつための十分条件を提供すること。
• Sheremeta や Strochyk らの先行研究を一般化・精緻化し、$L$ の径対称性などの制限的仮定を排除すること。

提案手法

• 単位球 $\mathbb{B}_n$ 内で正則な関数 $F$ に対して、$\alpha^m T_m(z) \leq \max\{ \alpha^p T_p(z) : p \leq N \}$ を満たす条件として、方向 $\mathbf{b}$ における有界 $L$-指数を定義する。ここで $\alpha = (\alpha_1, \dots, \alpha_n)$、$T_m(z) = |F^{(m)}(z)| / m!$ である。
• 関数 $F$ を複素直線 $z^0 + t\mathbf{b}$（$t \in \mathbb{C}$）に制限し、得られる一変数関数 $g(t) = F(z^0 + t\mathbf{b})$ を分析する。
• 主要化の手法を適用し、$g(r) = \max_{|t|=r} |g(t)|$ を導入し、$L(z^0 + te^{i\theta}\mathbf{b})$ 及びその径方向微分を含む微分不等式を導出する。
• 積分主要化技法を用いて、$\ln |F(z^0 + re^{i\theta}\mathbf{b})|$ を $\int_0^r L(z^0 + te^{i\theta}\mathbf{b}) \, dt$ で上から抑える。$(-L'_t)^+$ からの補正項を組み込む。
• 不等式 $ \ln |F(z^0 + re^{i\theta}\mathbf{b})| \leq \ln g(0) + (N+1)(1+o(1)) \int_0^r L(z^0 + te^{i\theta}\mathbf{b}) \, dt $ を用いて、$r \to R$ のときの成長推定を確立する。
• Jensenの公式を用いて、$n(t, z^0, 0, 1/F)$ の零点数関数を推定し、直線に沿った $|F|$ の成長と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単位球 $\mathbb{B}_n$ 内で正則な関数が与えられた方向 $\mathbf{b}$ に対して有界 $L$-指数をもつための必要十分条件は何か？
• RQ2 重み関数 $L(z)$ の径対称性を仮定しないで、このような関数の成長推定をどのように導出できるか？
• RQ3 有界 $L$-指数の方向に関する理論を整関数から単位球内で正則な関数へ拡張できるか？
• RQ4 単位球 $\mathbb{B}_n$ 内の偏微分方程式の正則解が有界 $L$-指数をもつための条件は何か？
• RQ5 $L(z)$ 及びその径方向微分 $L'_t(z)$ が $\mathbb{B}_n$ の境界付近でどのように振る舞うかに依存して、成長推定はどのように変化するか？

主な発見

• 本稿は、単位球 $\mathbb{B}_n$ 内で正則な関数に対して、方向 $\mathbf{b}$ における有界 $L$-指数であるための必要十分条件を、不等式 $ \alpha^m T_m(z) \leq \max\{ \alpha^p T_p(z) : p \leq N \} $ を用いて確立した。この不等式はすべての $z \in \mathbb{B}_n$ 及び $m \in \mathbb{Z}_+^n$ に対して成り立つ。
• 任意の $z^0 \in \mathbb{B}_n$ 及び $\theta \in [0, 2\pi]$ に対して、$F$ の方向 $z^0 + re^{i\theta}\mathbf{b}$ に沿った成長は、$ \varlimsup_{|z^0 + re^{i\theta}\mathbf{b}| \to 1} \frac{\ln |F(z^0 + re^{i\theta}\mathbf{b})|}{\int_0^r L(z^0 + te^{i\theta}\mathbf{b}) \, dt} \leq N_{\mathbf{b}}(F,L) + 1 $ を満たす。
• すべての $p \geq 0$ に対して、不等式 $ \ln \max_{|t|=r} \left| \frac{\partial^p F(z^0 + t\mathbf{b})}{\partial \mathbf{b}^p} \right| \leq \ln \max_{0 \leq k \leq N} \left| \frac{\partial^k F(z^0)}{\partial \mathbf{b}^k} \right| + \int_0^r \left\{ (N+1)L(z^0 + te^{i\theta}\mathbf{b}) + N \frac{(-L'_t(z^0 + te^{i\theta}\mathbf{b}))^+}{L(z^0 + te^{i\theta}\mathbf{b})} \right\} dt $ が成り立つ。
• $L(z)$ が $(-L'_t(z))^+ / L(z) \to 0$ となるような場合、$|z| \to 1$ のとき、成長は漸近的に $ \varlimsup_{r \to R} \frac{\ln |F(z^0 + re^{i\theta}\mathbf{b})|}{\int_0^r L(z^0 + te^{i\theta}\mathbf{b}) \, dt} \leq N_{\mathbf{b}}(F,L) + 1 $ で抑えられる。
• $n=1$ の場合、$l = l(|z|)$ という仮定を排除することで、Sheremeta や Strochyk の先行研究を一般化し、一般の正の連続関数 $l(z)$ を許容する。
• 零点数関数 $n(t, z^0, 0, 1/F)$ は、$ \int_0^r \frac{n(t, z^0, 0, 1/F)}{t} dt \leq \ln \max_{|t|=r} |F(z^0 + t\mathbf{b})| $ を満たし、零点分布と成長の関係を結ぶ。