[論文レビュー] Analytic influence functionals for numerical Feynman integrals in most open quantum systems

Nikesh S. Dattani, Felix A. Pollock+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2012

Spectroscopy and Quantum Chemical Studies参考文献 34被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、オープン量子系における離散化された影響関数の完全な解析的公式を提示する。従来のスペクトル密度の不適切な積分に代わり、バスターム応答関数 α(t) の有限で解析的に取り扱える積分を用いる。ローレンツ・ドレーブ型やべき乗則型を含む、物理的に重要なスペクトル分布の広いクラスに対して、α(t) が指数関数の和である場合、これらの積分は閉形式の式として得られ、Feynman経路積分計算をより高速かつ高精度かつより厳密に行えるようになる。

ABSTRACT

Fully analytic formulas, which do not involve any numerical integration, are derived for the discretized influence functionals of a very extensive assortment of spectral distributions. For Feynman integrals derived using the Trotter splitting and Strang splitting, we present general formulas for the discretized influence functionals in terms of proper integrals of the bath response function. When an analytic expression exists for the bath response function, these integrals can almost always be evaluated analytically. In cases where these proper integrals cannot be integrated analytically, numerically computing them is much faster and less error-prone than calculating the discretized influence functionals in the traditional way, which involves numerically calculating integrals whose bounds are both infinite. As an example, we present the analytic discretized influence functional for a bath response function of the form α(t)=\sum_{j}^{K}p_{j}e^{Ω_{j}t}, which is a natural form for many spectral distribution functions (including the very popular Lorentz-Drude/Debye function), and for other spectral distribution functions it is a form that is easily obtainable by a least-squares fit . Evaluating our analytic formulas for this example case is much faster and easier to implement than numerically calculating the discretized influence funcitonal in the traditional way. In the appendix we provide analytic expressions for p_{j} and Ω_{j} for a variety of spectral distribution forms, and as a second example we provide the analytic bath response function and analytic influence functionals for spectral distributions of the form J(ω)\proptoω^{s}e^{-(ω/ω_{c})^{q}}. The value of the analytic expression for this bath response function extends beyond its use for calculating Feynman integrals.

研究の動機と目的

• Feynman経路積分計算におけるオープン量子系の伝統的な不適切な積分の計算負荷と数値的不安定性を解消すること。
• スペクトル密度 J(ω) の代わりにバスターム応答関数 α(t) を用いた、離散化影響関数（DIF）の一般かつ解析的な表現を導出すること。
• 広範な物理的に重要なスペクトル分布に対して、正確で高速かつ強固なDIFの数値的評価を可能にすること。
• 即座に実装可能なオープンソースのMATLABおよびMathematicaコードを提供すること。
• 近似量子ダイナミクス手法（例：HEOM や Nakajima-Zwanzig 方程式）のベンチマークを支援するため、一貫性があり解析的に正確な環境結合モデルを提供すること。

提案手法

• バスターム応答関数 α(t) の適切な積分を用いた、離散化影響関数の一般式を導出する。これにより、J(ω) の無限範囲積分を回避する。
• α(t) = ∑ⱼ pⱼ e^{Ωⱼ t} の形をとる場合に注目する。これは、ローレンツ・ドレーブ型やデバイ関数などのスペクトル密度から自然に生じる形である。
• α(t) が解析的である場合、DIF の対応する積分は、有限の積分範囲のため、正確にまたは高い数値的効率で評価可能であることを示す。
• スペクトル分布パラメータ（例：J(ω) = ω^s e^{-(ω/ω_c)^q}）および逆温度 β を用いて、pⱼ と Ωⱼ の明示的な解析的表現を提供する。
• フェルミ・ディラック分布やボーズ・アインシュタイン分布を正確に表現するため、パデ近似（例：[N-1/N]）を用いて α(t) の分解を実施する。
• MATLAB および Mathematica で実装し、オープンソースのコードを公開して、スペクトルパラメータから直接解析的 DIF を計算可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Feynman経路積分における離散化影響関数は、バスターム応答関数 α(t) の有限で解析的に解ける積分として表現可能か？
• RQ2 どの物理的に重要なスペクトル分布に対して α(t) が ∑ⱼ pⱼ e^{Ωⱼ t} の形を取り、解析的 DIF 評価が可能になるか？
• RQ3 J(ω) の無限範囲積分を α(t) の有限積分に置き換えることで、数値的Feynman積分計算の速度、精度、安定性がどのように向上するか？
• RQ4 解析的 DIF が、HEOM やナカジマ＝ツワンツィグ方程式などの近似オープン量子系ダイナミクス手法のベンチマークをどの程度支援できるか？
• RQ5 標準的な数値ソフトウェアを用いて、解析的 DIF が実際に効率的に計算・実装可能か？

主な発見

• 本稿では、バスターム応答関数 α(t) の適切な積分を用いた、離散化影響関数の一般式を導出する。これにより、J(ω) の数値的に不安定な不適切な積分を回避できる。
• ローレンツ・ドレーブ／デバイ型やべき乗則型（J(ω) ∝ ω^s e^{-(ω/ω_c)^q}）などのスペクトル分布に対して、対応する α(t) は ∑ⱼ pⱼ e^{Ωⱼ t} の形を取り、完全な解析的 DIF を得られる。
• 解析的 DIF は計算的に優れている：無限範囲数値積分に依存する従来手法よりも、評価が高速で、数値誤差の発生しにくい。
• フェルミ・ディラック分布およびボーズ・アインシュタイン分布をパデ近似を用いて表現することで、3つの主要なスペクトル分布クラスについて、pⱼ と Ωⱼ の明示的な解析的表現を導出した。
• 本手法により、複雑なバスタームスペクトル密度（例：べき乗則形 J(ω) ∝ ω^s e^{-(ω/ω_c)^q}）に対しても、上不完全ガンマ関数および三角関数項を含む解析的 α(t) の式が導出可能となり、正確な DIF 評価が可能になる。
• 著者らは、スペクトルパラメータから直接解析的 DIF を計算可能なオープンソースのMATLABおよびMathematicaコードを提供しており、広範な再現可能性と利用可能性を確保している。