[論文レビュー] Analytic lie extensions of number fields with cyclic fixed points and tame ramification

Farshid Hajir, Christian Maire|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、Bostonの方法を、$p$-進解析的ガロア拡張 $ {L}/ {K}$ に拡張し、$ {K}/ {k}$ が素数 $ {\ell} \neq p$ の巡回拡張である場合に、ガロア群 $ {Gal}( {K}/ {k})$ が $ {Gal}( {L}/ {K}) = \Gamma$ に作用する様子を分析する。固定点が存在する場合でさえ、その作用が強い算術的制約をもたらすことが示され、固定点が非自明であっても、$ {k}$ 上に存在しない拡張が $ {K}$ 上に存在しないことを結論づけることができ、これは特に正規化された $p$-進解析的拡張の非存在性を保証する。

ABSTRACT

- Let p be a prime number and K an algebraic number field. What is the arithmetic structure of Galois extensions L/K having p-adic analytic Galois group $Γ$ = Gal(L/K)? The celebrated Tame Fontaine-Mazur conjecture predicts that such extensions are either deeply ramified (at some prime dividing p) or ramified at an infinite number of primes. In this work, we take up a study (initiated by Boston) of this type of question under the assumption that L is Galois over some subfield k of K such that [K : k] is a prime = p. Letting $σ$ be a generator of Gal(K/k), we study the constraints posed on the arithmetic of L/K by the cyclic action of $σ$ on $Γ$, focusing on the critical role played by the fixed points of this action, and their relation to the ramification in L/K. The method of Boston works only when there are no non-trivial fixed points for this action. We show that even in the presence of arbitrarily many fixed points, the action of $σ$ places severe arithmetic conditions on the existence of finitely and tamely ramified uniform p-adic analytic extensions over K, which in some instances leads us to be able to deduce the non-existence of such extensions over K from their non-existence over k.

研究の動機と目的

• 素数 $\ell \neq p$ の素数位数の巡回ガロア群 $\r{Gal}(\r{K}/\r{k})$ の作用を受ける、$p$-進解析的ガロア拡張 $\r{L}/\r{K}$ の算術的構造を調査すること。
• 固定点が非自明であっても、正規化されたプロ $p$-群 $\Gamma = \r{Gal}(\r{L}/\r{K})$ 上でのガロア作用の固定点が、このような拡張の存在に与える制約を理解すること。
• Bostonの固定点なし（FPF）手法を、非自明な固定点を含む場合に一般化し、正規化された $p$-進解析的拡張の非存在性結果の適用範囲を拡張すること。
• 基底体 $\r{k}$ 上にこのような拡張が存在しない場合、それが位数 $\ell$ の巡回拡張 $\r{K}$ 上にも存在しないことを保証する条件を確立すること。

提案手法

• 群拡張の構造を分析するため、Schur-Zassenhaus の定理を用いる。ここには $\Gamma$ とガロア群 $\Delta = \r{Gal}(\r{K}/\r{k})$ が関与する。
• 正規化されたプロ $p$-群とその関連するリー代数の理論を用いて、$\sigma \in \Delta$ が $\Gamma$ に作用する様子を研究する。
• 特に単数と $T$-単数に関するコホロロジー的技法を用い、群環上のモジュールの自由性と構造を分析する。
• Kummer理論とGras-Munnierの定理を用いて、分岐データとガロアモジュール構造との関係を関係づける。
• Chebotarevの密度定理を応用し、指定された分解型を示す素数の分布を研究する。
• 固定点部分群 $\Gamma^\sigma$ の分析と、正規化された $\Gamma$-拡張の存在を制約する役割。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 巡回ガロア作用の下で非自明な固定点が存在する場合、数体 $\r{K}$ 上の正規化された $p$-進解析的拡張の存在にどのような影響を与えるか？
• RQ2 基底体 $\r{k}$ 上にこのような拡張が存在しない場合、それが位数 $\ell \neq p$ の巡回拡張 $\r{K}/\r{k}$ 上にも存在しないことを示せるか？
• RQ3 正規化された $p$-進解析的群 $\Gamma = \r{Gal}(\r{L}/\r{K})$ に対して、$\sigma \in \r{Gal}(\r{K}/\r{k})$ の作用がガロア群 $\Gamma$ に与える構造的制約は何か？
• RQ4 Bostonの元々の方法における FPF（固定点なし）仮定を、$p$-進解析的拡張の非存在定理を得る上でどれほど緩和できるか？
• RQ5 ガロア作用の固定点は、特に正規化された分岐の文脈において、$\r{L}/\r{K}$ の分岐挙動とどのように相互作用するか？

主な発見

• ガロア作用の下で任意に多くの非自明な固定点が存在しても、$\sigma$ が $\Gamma$ に作用する構造は、$\r{K}$ 上の有限かつ正規化された $p$-進解析的拡張の存在に依然として深刻な算術的制約をもたらす。
• 本論文は一般原理を確立する：基底体 $\r{k}$ 上にこのような拡張が存在しない場合、ある条件下では $\r{K}$ 上にも存在しない。固定点が存在する場合でも成立する。
• 固定点の存在は、この手法を無効にしない。むしろ、依然として拡張を除外できる、洗練されたコホロロジー的およびモジュール論的条件を生じさせる。
• 分析により、固定点部分群 $\Gamma^\sigma$ が、特に $T$-単数とその自由性に関連して、$\Gamma$ の分岐と構造を決定づける重要な役割を果たすことが明らかになった。
• 特に $\sigma$ の位数が 2 または $p-1$ を割る場合、ガロア作用と $\Gamma$ の正規化性の相互作用に基づいて、明示的な非存在結果が得られた。
• 円分 $\mathbb{Z}_p$-拡張の文脈において、基底体 $\r{k}$ が特定の類数および単数群の条件を満たす場合、本手法により非存在定理が得られる。